Поиски истины

Квантование вращения

Как мы сейчас увидим, применение квантовой механики к вращающемуся телу приводит к тому, что момент количества движения может принимать не любые значения, как в классической механике, а значения, кратные величине п. Это относится и к полному моменту, и к его проекции на какую-либо ось. Поэтому вращающееся тело может наклоняться не под всеми углами, а только под некоторыми. Мы уже говорили об этом в разделе о красоте науки, обсуждая внутренние симметрии.

Для больших тел эта скачкообразность незаметна из-за малости h. Иное дело - в атомах и молекулах, где момент невелик. Это удивительное явление, которое

188

было названо «пространственным квантованием», было обнаружено экспериментально еще до создания квантовой механики. В 1922 году Отто Штерн и Вальтер Гер-лах пропускали пучок атомов через неоднородное магнитное поле. Атом представляет собой магнитик с магнитным моментом, пропорциональным угловому моменту. Поэтому атомы с разными проекциями момента на направление магнитного поля по-разному отклоняются. Допустим, момент атома равен единице. Тогда возможны три проекции 1, 0, -1, и после отклонения пучок разобьется на три пучка в соответствии с этими значениями проекции момента. Так и получилось в опыте Штерна - Герлаха.

Получим пространственное квантование из простых рассуждений.

Камень у поверхности Земли может совершать три независимых движения: свободное по двум горизонтальным направлениям и ускоренное под действием силы тяжести по вертикали. Спутник, огибающий Землю, тоже совершает три независимых движения - по меридиану, по параллели и по направлению к центру Земли.

Точно так же у частицы в поле, зависящем не от углов, а только от расстояния до центра (например, ку-лоновское поле ядра), есть три независимых движения: по меридиану, по параллели и по радиусу. Все эти три движения можно квантовать независимо.

Рассмотрим движение по параллели, ось z направим от Южного полюса к Северному. Найдем соответствующую длину волны частицы. Пусть расстояние до оси вращения р. Тогда

Здесь M_z- момент количества движения вокруг оси z, или, что одно и то же, - проекция полного момента на ось z. На длине 2 pi rho должно уложиться целое число волн, иначе не получится стоячей волны. Совершив полный оборот и придя в ту же точку на параллели, мы должны иметь то же самое значение волновой функции, что и до оборота. Таким образом, 2 pi rho=n h, где п - целое число. Из выражения для lambda получаем:

Проекция момента есть целое число, умноженное на h. Максимальное возможное значение проекции полу-

чается, когда полное вращение происходит по оси г. Тогда Mz = M = nmh. Мы получили, что и полный момент квантовой системы есть целое число, умноженное на h.

Будем измерять момент и его проекцию в единицах h. Мы видим, что проекция момента принимает все возможные целые значения от -M/h до M/h. Для момента M/h = 1, Mz /h = 1,0,- 1.

Есть частицы, которые благодаря внутреннему движению имеют полуцелый спин (момент, деленный на h); например, спин электрона и протона равен 1/2. Неудивительно, что для описания внутреннего движения частиц наша простая схема не годится. Но наш результат мало изменится, если в полном моменте участвуют частицы со спином 1/2, как в атоме водорода, где есть только один электрон, спин которого не скомпенсирован другими. Полный момент электрона и его проекция принимают не целые значения, а полуцелые. Так, для основного состояния спин электрона в атоме водорода равен 1/2, а проекции: 1/2, -1/2.

Квантовый осциллятор

Для применения квантовой механики несущественно, как реализован осциллятор - представляет ли он груз, колеблющийся на пружине, или колебательный контур.

Обозначим через q «обобщенную» координату осциллятора - это может быть величина смещения груза из положения равновесия или заряд на обкладках конденсатора в случае колебательного контура. Запишем энергию осциллятора в виде суммы кинетической и потенциальной энепгии:

Величина beta - «масса», а величина gamma- «жесткость» осциллятора. Можно представить, что осциллятор - это некая «частица» с массой р, которая колеблется на пружине с жесткостью у. Введем длину волны lambda волнового процесса, связанного с нашей «частицей»,

В знаменателе, как и в случае электрона, стоит произведение «массы» на «скорость частицы». Поскольку «частица» движется в области от -q до q, то для того,

чтобы образовалась стоячая волна, на «длине» 2q должно укладываться целое число полуволн: 2q/(lavbda/2) =n +1; n = 0,1,2,3. Сначала найдем скорость

Наинизшее значение п равно нулю - на длине 2q укладывается половина длины волны - максимум посередине и нули на краях. В этом состоянии неопределенность импульса del p ~p~ beta q'~h/q , в согласии с соотношением неопределенности.

Подставляя выражение для скорости в кинетическую энергию, получим:

А для полной энергии получим:

Значение q, дающее наименьшую энергию, получится, если приравнять кинетическую и потенциальную энергии:

Подставляя в выражение для энергии, найдем:

Действительно, величина sqrt(gamma/beta)=omega представляет собой частоту колебаний классического осциллятора. При точном расчете для энергии получается выражение:

Таким образом, мы ошиблись только в численном множителе (pi/2 вместо 1) при n, а также в численном значении энергии наинизшего состояния, когда n =0 = 0 (pi h omega/2 вместо h omega/2). Все остальное получилось правильно! Теперь, когда результат получен, следует задуматься над тем, что мы использовали для его получения и что вытекает из полученных нами выражений для энергии осциллятора и для величины q2.

Прежде всего мы применили к нашему осциллятору, не интересуясь его устройством, принципы квантовой механики, установленные первоначально для электронов. Конечно, естественно ожидать, что общие принципы должны быть такими же и для других частиц с массой, отличающейся от массы электрона. Такое обобщение с большой точностью подтвердилось опытом. Но почему эти же принципы приложимы и к колебательному контуру, где роль «координаты» играет заряд на обкладках конденсатора? Здесь мы использовали предположение, которое много раз применялось в теоретической физике XX века. Если две системы имеют энергию, одинаково зависящую от координат и скоростей, то все свойства таких систем совершенно одинаковы, какой бы смысл ни имели «координаты» и «скорости».

Не было ни одного примера, где бы это предположение противоречило опыту. Поэтому мы вправе считать, что решили задачу о применении квантовой механики сразу для всех возможных осцилляторов.

Что означают полученные результаты? Как они переходят в формулы классической механики? Прежде всего мы получили, что энергия изменяется не непрерывно, а порциями величины h omega. Правда, величина h очень мала (в системе CGS h=10-27 эрг-с), и для обычных макроскопических осцилляторов эта скачкообразность практически ненаблюдаема. Правильность выражения для энергии осциллятора проверена с большой точностью для многих видов осцилляторов.

Но мы получили еще одно важное свойство квантового осциллятора. Когда энергия минимальна, классический осциллятор находится в покое в положении равновесия, между тем как квантовый в наинизшем состоянии при п = 0 совершает колебания - «нулевые колебания». Кинетическая и потенциальная энергии этих колебаний порядка h omega. Среднее значение координаты осциллятора равно нулю, а среднее значение квадрата координаты дается приведенной выше формулой. Это замечательное свойство квантовых осцилляторов хорошо проверено на опыте и чрезвычайно важно для современной физики.

Если рассмотреть звуковые колебания твердого тела как набор квантовых осцилляторов, то мы получим, что прн абсолютном нуле температуры атомы твердого тела не неподвижны, а совершают нулевые колебания. Это подтвердили опыты по рассеянию света при низких температурах! Если же теперь мы рассмотрим электромагнитные волны как набор осцилляторов в пустом пространстве, то придем к заключению, что в пустоте, даже когда в ней нет ни частиц, ни квантов, должны происходить «нулевые колебания» электромагнитного поля. И эти колебания были также обнаружены на опыте! Но этот вопрос требует более подробного обсуждения.

Квантование поля

Что же такое квант? Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы ответить на этот вопрос. Мы ввели без объяснения несколько терминов: квантование; волновой процесс, связанный с частицей; квантовый осциллятор… Начали действовать, не очень их понимая, и тем не менее знаем теперь, как зависит энергия уровней атома водорода от квантового числа п; узнали, что квантовый осциллятор в наинизшем энергетическом состоянии колеблется, и даже стали применять результаты квантования осциллятора к такому объекту, как колебания электромагнитного поля в пустоте. А потом неожиданно обнаружили, что начали понимать! Это пример того, как возникает понимание в процессе работы. Ведь если бы мы попытались добиться полного понимания до того, как начали наши простые вычисления, ничего бы не получилось.

Но что же такое квант? Пусть имеются два металлических экрана, расположенных параллельно друг другу. Тогда между ними можно возбудить стоячую электромагнитную волну. Как это делается? Вы знаете, что от антенны радиопередатчика бегут электромагнитные волны, которые, попадая на антенну приемника, превращаются в конечном счете в звук в репродукторе или в изображение на экране телевизора. Представим себе, что такая волна попала в пространство между металлическими экранами и распространяется перпендикулярно им. Если между экранами укладывается целое число полуволн, то возникает стоячая волна. Такая волна возникает и в струне. Если вы дернете закрепленную струну, по ней побегут волны, но после отражения от места закрепления установится стоячая волна или несколько стоячих волн разной длины.

Допустим, мы возбуждаем основной тон электромагнитной волны между экранами. Тогда в средней точке амплитуды напряженности электрического и магнитного полей будут максимальны, и поля в этой точке будут периодически колебаться. Но если какая-то величина периодически колеблется, это означает, что мы имеем дело с осциллятором, надо только выбрать подходящую обобщенную координату. Для нашего осциллятора можно считать координатой напряженность электрического поля в средней точке, и роль скорости при этом будет играть магнитное поле, величина которого пропорциональна скорости изменения электрического поля. Вспомните пример колебательного контура, где потенциальная энергия осциллятора была пропорциональна квадрату заряда конденсатора, то есть квадрату электрического поля, а кинетическая энергия - квадрату магнитного поля в катушке.

Ясно, что к этому осциллятору применимы те же принципы квантования, что и к любому другому. А раз так, то энергия нашей стоячей волны может изменяться порциями h omega.

Если расстояние между экранами l, то для основного тона имеем:

Ведь длина волны связана с периодом Т соотношением lambda = сТ, а период связан с частотой со по формуле Т = 2pi/omega.

Если волна находится в состоянии с п = 0 (наинизшее состояние), то говорят, что между экранами нет квантов. Если же волна перешла в состояние с n = 1, то говорят, что появился один квант с длиной волныlambda = 21.