Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

Рассмотрим в первую очередь интересный класс симметричных пар чисел из множества нечетных чисел.

В предыдущем разделе было показано, что числа симметричной пары всегда имеют одинаковую четность, т.е. состоят либо из двух нечетных чисел, либо из двух четных чисел.

Исследуем подмножества симметричных пар нечетных чисел, сумма которых, конечно, является четным числом.

Как было показано в предыдущем разделе, оба подмножества нечетных чисел nchA множества A и nchB множества B имеют однозначное соответствие и, следовательно, имеют одинаковые мощности или то же самое равное количество элементов.

Выделим в каждом из них еще по два подмножества, а именно:

Подмножество составных нечетных чисел S и подмножество простых чисел P, которые запишем следующими выражениями

nchA= SA U PA;

nchB = SB U PB, (3.1)

где SA, SB – подмножества составных нечетных чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно;

PA, PB – подмножества простых чисел симметричных пар из множеств A и B соответственно.

Так в примере, приведенном выше

SA= {9}, а PA= {1, 3, 5, 7}

SB= {15} и PB= {11, 13, 17, 19}.

Исследуем вопрос, как будут соотноситься элементы указанных подмножеств, при формировании симметричных пар конкретного числа n.

Анализ рис. 2 показывает, что при формировании симметричных пар числа n будут участвовать как составные нечетные, так и простые числа. Из (2.6) имеем, что мощность |nchA| подмножества элементов нечетных чисел nchA множества A будет равна мощности |nchB| подмножества нечетных nchB множества B, т.е. имеем

|nchA| =|nchB|. (3.2)

Тогда, исходя из того же выражения (2.6) можно записать

|nchA| =|SA| + |PA| = |nchB| =|SB| + |PB|. (3.3)

Отсюда следует важное следующее равенство

|SA| + |PA| = |SB| + |PB|. (3.4)

Следовательно, правомерно записать и такое соответствие

SA U PA<=>SB U PB. (3.5)

Это значит, что объединение подмножеств SAи PAоднозначно соответствуют объединению подмножеств SB и PB.

Далее рассмотрим пример для числа n=16. Построим числовой отрезок [0,32] (см. рис. 2).

____________________________________________________________________________

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

a1 n b1

Рис. 2

Запишем подмножество nchA. Оно будет

nchA ={15;13;11;9;7;5;3;1}.

Далее, подмножество nchB будет состоять из следующих элементов

nchB ={17;19;21;23;25;27;29;31}.

Мощности построенных подмножеств равны 8, т. е. |nchA| = |nchB| =8.

Выберем в каждом из них нечетные составные и простые числа.

Получим

SA = {15;9}, PA = {13;11;7;5;3;1}, при чем, |SA| =2, а |PA| =6.

Аналогично

SB = {21;25;27}, PB = {17;19;23;29;31}, при чем, |SB| =3, а |PB| =5.

Построим таблицу соответствия подмножеств nchA и nchB для данного примера, а фактически таблицу симметричных пар

Таблица 2

nchA

15

13

11

9

7

5

3

1

nchB

17

19

21

23

25

27

29

31

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

Теперь построим таблицу соответствия нечетных составных и простых чисел

Таблица 3

nchA

15

13

11

9

7

5

3

1

SA

15

9

PA

13

11

7

5

3

1

nchB

17

19

21

23

25

27

29

31

SB

21

25

27

PB

17

19

23

29

31

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

Анализ таблицы 2 и 3 показывает, что при δ=2,7,8 симметричными парами чисел являются исключительно простые числа (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. (1, 31), (3, 29), (13, 19).

Далее, рассмотрим случай числа n=32.

Подмножество нечетных чисел множества А и его мощность составляют

nchA ={31;29;27;25;23;21;19;17;15;13;11;9;7;5;3;1}, |nchA| =16.

Подмножество составных нечетных чисел и его мощность составляет

SA ={27;25;21;15;9}, |SA| =5.

Подмножество простых чисел и его мощность составляет

PA={31;29;23;19;17;13;11;7;5;3;1}, |PA| =11.

Соответственно для подмножества В

nchВ ={33;35;37;39;41;43;45;47;49;51;53;55;57;59;61;63}, |nchВ| =16, а также подмножества составных нечетных и простых чисел.

Соответственно,

SВ ={33;35;39;45;49;51;55;57;63}, |SВ| =9,

PВ ={37;41;43;47;53;59;61}, |PВ| =7.

Таблица симметричных пар тогда будет

Таблица 4

nchA

31

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

9

7

5

3

1

SA

27

25

21

15

9

PA

31

29

23

19

17

13

11

7

5

3

1

nchВ

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

63

SВ

33

35

39

45

49

51

55

57

63

PВ

37

41

43

47

59

61

δ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Из таблицы 4 видно, что симметричными простыми парами в этом примере будут пары при δ=5,8,14,15 (в таблице подчеркнуты одной чертой), т.е. пары (3, 61), (5, 59), (17, 47), (23, 41). Здесь же видим, что нечетные симметричные пары могут состоять также только из нечетных составных чисел δ=4,9,12 (в таблице подчеркнуты двойной чертой) (9, 55), (15, 49), (25, 39).

Следовательно, напрашивается вывод о том, что нечетные симметричные пары числа n могут состоять из:

1) нечетных составных и простых чисел (смешанные пары);

2) только нечетных составных чисел;

3) только простых чисел.

Дальнейший анализ числового ряда и составляющих симметричных пар с помощью подобных таблиц показывает, что при n→∞ можно составить такие неравенства

|SA|< |SВ|, (3.6)

и соответственно

|PA| > |PВ|. (3.7)

Оценку приведенных неравенств можно получить из следующих соображений.

Согласно оценке П.Л. Чебышева [2], уточняющую оценку Лагранжа [3], для больших значений n, число простых чисел в натуральном ряде достаточно точно оценивается следующим выражением

π(n) = n/ln(n), (3.8)

где ln – натуральный логарифм.

Тогда для числа 2n количество простых чисел будет равно

π(2n) = 2n/ln(2n). (3.9)

Используя выражения (3.8) и (3.9) можно записать

|PA|= π(n), а (3.10)

|PB|= π(2n) – π(n). (3.11)

Для того чтобы определить справедливость неравенства |PA| > |PВ| исследуем разность

|PA| – |PВ| = π(n) – π(2n) + π(n) = 2π(n) – π(2n). (3.12)

Далее раскрывая (3.12) с учетом (3.8) и (3.9), имеем

2n/ln(n) – 2n/ln(2n) = 2n(1/ln(n) –1/ln(2n)). (3.13)

Так как ln(2n) = ln2 + ln(n), то очевидно, что в выражении (3.13)

ln(2n) > ln(n). (3.14)

Учитывая полученное неравенство (3.14) имеем

1/ln(n) > 1/ln(2n). (3.15)

Отсюда получаем положительную следующую разницу

|PA| – |PB| > 0, (3.16)

что доказывает справедливость утверждения (3.7).

Исходя из (3.3) и (3.4) легко получается следующее равенство

|SB| – |SA| = |PA| – |PB|. (3.17)

Тогда с учетом (3.16) получаем

|SB| – |SA| > 0, (3.18)

что доказывает справедливость утверждения (3.6).

Теперь же особый интерес представляет способ формирования симметричных простых пар.

4. Таблица симметричных простых пар чисел

Для более глубокого понимания механизма образования симметричных простых пар чисел построим следующую таблицу.

В таблице в первой строке и первом столбце P1 обозначения простых чисел, стоящих во второй строке и втором столбце по порядку. А во второй строке и втором столбце стоят сами простые числа по порядку. На пересечении столбца и строки в таблице находится число 2n, по которому образуется симметричная простая пара. Очевидно, что таблица симметрична относительно диагонали.

Таблица 5

dp 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 1

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

P11

P12

P13

P14

P15

P16

P17

P18

1

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

P1

1

1

2

3

4

6

7

9

10

12

15

16

19

21

22

24

27

30

31

P2

3

3

4

5

7

8

10

11

13

16

17

20

22

23

25

28

31

32

P3

5

5

6

8

9

11

12

14

17

18

21

23

24

26

29

32

33

P4

7

7

9

10

12

13

15

18

19

22

24

25

27

30

33

34

P5

11

11

12

14

15

17

20

21

24

26

27

29

32

35

36

P6

13

13

15

16

18

21

22

25

27

28

30

33

36

37

P7

17

17

18

20

23

24

27

29

30

32

35

38

39

P8

19

19

21

24

25

28

30

31

33

36

39

40

P9

23

23

26

27

30

32

33

35

38

41

42

P10

29

29

30

33

35

36

38

41

44

45

P11

31

31

34

36

37

39

42

45

46

P12

37

37

39

40

42

45

48

49

P13

41

41

42

43

47

50

51

P14

43

43

45

48

51

52

P15

47

47

50

53

54

P16

53

53

56

57

P17

59

59

60