Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера

|SA| = |PВ| + |ŚA|, а |SВ| = |PA| + |ŚВ|. (5.4)

Тогда, согласно (2.7) мощности нечетных чисел nchA и nchВ равны, откуда с учетом (5.4) запишем

|PВ| + |ŚA|+ |PA| = |PA| + |ŚВ| +|PВ|. (5.5)

Не трудно показать, что при данном предположении должно выполняться следующее равенство

|ŚA| = |ŚВ|. (5.6)

Поэтому, рассмотрим значение |ŚA|, а затем распространим его на |ŚВ|.

Не трудно видеть, что в этом случае количество нечетных чисел левой и правой полуоси натурального ряда должны быть равны

|nchA| = |nchВ| = |SA| + |PA| = |SВ| + |PВ| = n/2. (5.7)

Тогда, согласно (5.4) и (5.5) имеем

|PВ| + |ŚA|+ |PA| = n/2. (5.8)

Отсюда

|ŚA| = n/2 – (|PВ| + |PA|). (5.9)

Учитывая выражения (3.10) и (3.11) перепишем (5.9)

|ŚA| = n/2 –π(2n). (5.10)

Подставляем в (5.10) значения из (3.8) и получаем оценку симметричных пар, включающих только нечетные составные числа

|ŚA| = n/2 – 2n/ln(2n). (5.11)

Рассмотрим предел функции (5.11) при n→∞

lim(|ŚA|) = lim(n/2 – 2n/ln(2n)). (5.12)

n→∞ n→∞

Согласно свойствам пределов имеем

lim(n/2) lim(1 – 4/ln(2n)) = 1/2 lim(n) = n/2 (5.13)

n→∞ n→∞ n→∞

Таким образом, получаем противоречие, заключающееся в том, что при стремлении n в бесконечность число нечетных составных чисел будет существенно больше простых.

2) Множество SA должно полностью соответствовать множеству PB, т.е. |SA| = |PВ|. Аналогично, множество SB должно полностью соответствовать множеству PA, т.е. |SВ|=|PA|.

Далее из (5.3) имеем, |PA| > |PВ|, |SA| < |SВ| и |SA| > |PA|, |SВ| > |PВ|.

Но так как |SA| = |PВ| и одновременно |PA| > |PВ|, то отсюда следует, что должно быть |PA| > |SA|, что противоречит начальному условию (5.3).

Следовательно, предположение, что множество PA и множество PB не пересекаются по симметричным парам, то есть PA ∩ PB ≡ Ø неверно и это доказывает, что найдется хотя бы одна симметричная пара простых чисел для представления данного четного числа.

Теорема 4. Любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар нечетных составных чисел.

Доказательство. Согласно доказанной теореме 3 любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар нечетных чисел.

Рассмотрим множество нечетных чисел nchA меньших n и множество нечетных чисел nchB больших n и меньших 2n, т.е.

{nchA} < n;

n < {nchB} < 2n. (5.14)

Выше было показано, что эти множества состоят из подмножеств симметричных составных нечетных и простых чисел, таких что

nchA = SA U PA и nchB = SB U PB.

Далее, согласно (3.2) мощности указанных множеств равны, т.е. |nchA| = |nchB|. При этом, в соответствии с (3.3) равны и суммы мощностей подмножеств симметричных нечетных составных и простых чисел обеих множеств, т.е. | nchA | = |SA| + |PA| и |nchB| = |SB| + |PB|.

Заметим, как показано выше, что имеется однозначная функциональная зависимость между элементами указанных двух множеств, а именно каждому элементу из множества nchA найдется единственный элемент в множестве nchB, или в символьной записи nchAi→nchBi.

Рассмотрим теперь два подмножества симметричных нечетных составных чисел SA и SB.

Допустим, что утверждение теоремы неверно, т.е. не существует двух симметричных нечетных составных чисел из SA и SB, или иначе говоря, подмножество функциональной зависимости пусто или SAi→ SBi = Ø.

Тогда, если во множествах SA и SB не нашлось ни одной симметричной пары нечетных составных чисел, то, следовательно, с учетом (5.3) мощность множества SA должна быть равна мощности множества PB, т.е. |SA| = |PB|. Аналогично рассуждая для множества должно выполняться и следующее равенство |SB| = |PA|. В этом случае применяя рассуждения теоремы 2 можно прийти к противоречию, т.е. к тому, что |PB|> |SA|, а это противоречит начальному условию (5.3). Теорема доказана.

6. Сильная гипотеза Гольдбаха и теорема Гольдбаха-Эйлера

Доказанные в предыдущем разделе теоремы вплотную подводят нас к сильной или бинарной гипотезе Гольдбаха [1], которую также сформулировал Эйлер [4] и которая гласит: любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел. Как показано выше, приведенные исследования в общем виде бинарная гипотеза Гольдбаха не совсем верна, так как сумма двух любых простых чисел будет соотноситься только к числу, которое получается делением четного числа на 2.

Запишем данное утверждение не в виде гипотезы, а в виде теоремы.

Исходя из сказанного, сформулируем сильную или бинарную теорему Гольдбаха-Эйлера в следующем виде:

Теорема 6 (сильная или бинарная). Любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел и только таких, которые являются симметричной парой простых чисел соответствующей числу вдвое меньшему самого четного числа.

Доказательство этой теоремы найдем в доказательстве теоремы 5.

Следует заметить, что иных разложений четного числа в виде суммы простых чисел не существует. Это следует из материалов раздела 5.1 и 5.2.

7. Проблема представления любого числа в виде суммы нескольких простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха)

С использованием симметричных простых чисел, может быть и решена тернарная проблема Гольдбаха, сформулированная им в 1742 году. Его предположение, что всякое нечетное число, большее 5 можно представить в виде суммы трех простых, решается следующим способом.

7.1. Представление нечетных чисел в виде суммы трех простых чисел.

Представим нечетное число в виде

nch=2n+1. (7.1)

Тогда, используя результаты, полученные в разделе 5, можно записать следующее представление

2n=p1+p'2, (7.2)

где p1, p'2 – симметричная пара простых чисел.

Подставив (7.2) в (7.1) получим

nch= p1+p'2+1. (7.3)

Очевидно, что p'2+1 является четным числом и, следовательно, к нему также можно применить разложение в виде суммы двух чисел, т.е.

p'2 + 1= p2 + p3, (7.4)

где p2, p3 – симметричная пара простых чисел.

Далее подставляя (7.2), (7.3) и (7.4) в (7.5) окончательно получаем

nch= p1+ p2+p3, (7.5)

где p1, p2, p3 – числа симметричных пар.

Таким образом, сформулируем

Теорему 7: Любое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел.

Доказательство приведено выше.

Исходя из свойств нечетных чисел и доказанных выше утверждений и теорем, можно утверждать, что нечетное составное число невозможно по природе представить в виде суммы двух простых чисел.

Возможно ли представление нечетного числа в виде суммы трех простых чисел.

7.2. Представление нечетных чисел в виде суммы двух других чисел.

Рассмотрим выражение нечетного числа (7.1).

Разделим его на 2 и получим

nch/2=n+½. (7.6)

Очевидно, что число (7.6) на числовой оси ряда действительных чисел находится точно в середине отрезка [n, n+1], такого, что сумма чисел, находящихся на концах отрезка будет равна нечетному числу nch.

Тогда, если обозначить число n как a1, а число n+1 как b1, то их сумма будет равна a1+ b1=2n+1.

В этом случае число n можно принять ближайшим левым числом к центру симметрии, а число n+1 является ближайшим правым числом симметрии.

Двигаясь от центра симметрии можно получить множество симметричных пар, ai и bi, таких, что ai + bi=2n+1, где i = 1,2,3… n. Очевидно, что числа симметричных пар ai и bi имеют разную четность.

8. Алгоритм представления четных чисел в виде двух простых чисел.

При заданном четном числе алгоритм представления его в виде суммы двух простых чисел будет следующим.

8.1. Разделим четное число ch на два и получим новое число n.

8.2. По таблице симметричных пар простых чисел находим место нахождения числа n.

8.3. Двигаясь по горизонтальной строке влево до крайнего левого столбца находим значение первого простого числа p1.

8.4. Двигаясь по вертикальному столбцу вверх до крайней верхней строки находим значение второго простого числа p2.

8.5. Записываем 1-ое представление четного числа в виде суммы двух простых чисел следующим образом:

ch= p1+ p2.

8.6. По таблице симметричных пар простых чисел находим следующее местонахождение числа n и переходим к п. 8.3. Если такого элемента не находим, то переходим к п. 8.7.

8.7. Переписываем все полученные представления четного числа в виде суммы двух простых чисел.

9. Представление простых чисел

Результаты предыдущей главы позволяют исследовать задачу представления простых чисел в виде суммы нескольких других простых чисел.

9.1. Представление простых чисел в виде суммы трех простых чисел.

Действительно, в разделе 8 было показано, что любое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел. Следовательно, и любое простое число также представимо в виде суммы трех простых чисел, так как множество простых чисел одновременно является и подмножеством нечетных чисел.

Пусть нечетное число является простым

Тогда, согласно теореме 7 разложение простого числа p запишем

p = p1 + p2 + p3, (9.1)

где p1, p2, p3 – простые числа.

Не сложно показать, что

p> = p1 > p2 > p3, (9.2)

Следует заметить, что представление простого числа p в виде суммы трех простых чисел p1, p2, p3 является не единственным.

Рассмотрим далее следующие три суммы p1+ p2, p1+ p3, p2+ p3, из которых можно записать три интересных выражения

p1+ p2= 2n1;

p1+ p3 = 2n2; (9.3)

p2+ p3 = 2n3.

Не трудно видеть, что суммы правых и левых частей выражения (9.3) равны, т.е.

p = p1+ p2+ p3= n1+ n2 +n3. (9.4)

Числа n1, n2, n3 обладают следующими интересными свойствами.

1) Числа n1, n2, n3 являются центрами симметрии:

n1 – для p1+ p2;

n2 – для p1+ p3; (9.5)

n3 – для p2+ p3.

2) Из чисел n1, n2, n3 может быть такое сочетание, что все они нечетные, либо два четных, а одно нечетное.