Как появилась Вселенная? Большие и маленькие вопросы о космосе

Математика красоты

Нужно глубже понять идею симметрии. Древние греки, к примеру, Пифагор и Платон, считали, что симметричные формы воплощают красоту природы. Аристотель полагал, что небеса построены в виде концентрических сфер, так как сфера – самая симметричная и потому самая прекрасная из форм. Симметрия проявляется во многих исторических контекстах: колёса делались круглыми, спортивные мячи – сферическими, при изготовлении инструментов и оружия важно было положение центра тяжести, и т. д.

В интеллектуальном плане концепция симметрии, вероятно, возникла как мощная эстетическая идея, совпадающая с другими ценностями Возрождения – например, простотой формы. Дикая роза являет нам лишённую гармонии хаотическую смесь форм, тогда как у розы, написанной художником на стене ренессансного собора, очертания стройные и пропорциональные – другими словами, симметричные.

Математики восприняли эту концепцию и несколько столетий её разрабатывали. Как это происходит со всеми математическими концепциями, с течением времени она становилась всё абстрактнее. Математическая трактовка идеи симметрии началась с конкретных примеров, таких, как правильные геометрические формы, но к XIX столетию развилась в теорию групп. В самом общем смысле группа – любой набор предметов, сочетание которых даёт другой предмет из того же набора. Прекрасный пример – числа: сложив два из них, мы получим ещё одно число.

Как группы связаны с симметрией? Возьмём окружность. Что можно сделать с окружностью, чтобы в результате получить её же? Можно перевернуть, можно покрутить по часовой стрелке или против неё. Но смять или сплющить нельзя – получится, к примеру, эллипс. Преобразования окружности, при которых её форма сохраняется, – это её симметричные преобразования, и они всегда образуют группу. Математики вывели множество свойств групп. К тому времени, когда современная физика встала на ноги, физики позаимствовали многие из этих идей – и продвинулись вперёд. И в самом деле, симметрия – очень важная вещь; некоторые даже утверждают, что вся физическая наука сводится просто к её исследованию и что современная физика – просто приложение теории групп! И если симметрия остаётся лишь интуитивно важной идеей, то абстрактный математический аппарат теории групп стал критически необходим для понимания Вселенной: он и есть язык квантовой физики.

Есть универсальное правило: хотите установить какую-то физическую закономерность – поищите симметрию.[27] В теоретической физике, науке, где для изучения явлений природы используется математика, а не эксперименты в лабораториях, есть два способа установить какую-либо закономерность. Первый – рассмотреть существующие законы и уравнения и отыскать в них новые симметрии, которых до вас никто не заметил. Второй – предложить новую теорию, с самого начала построенную на симметрии. Для каждого из этих случаев можно привести множество примеров классических физических теорий. К примеру, законы движения планет Иоганна Кеплера – с них, как многие считают, и началась революция, которая привела к становлению современной науки, – прекрасны в своей геометрической простоте. Они требуют, чтобы орбиты планет при их обращении вокруг Солнца имели геометрическую форму эллипса. Однако Кеплером руководило не требование сделать законы симметричными, а необходимость согласовать наблюдательные данные с теорией. По сути, только спустя 250 лет немецкие физики Карл Рунге и Вильгельм Ленц сумели «открыть» в движении планет детальную математическую симметрию.

Перенесёмся теперь в 1905 год – «год чудес» Альберта Эйнштейна. Он, вероятно, единственная личность в истории, которая сразу ассоциируется с математическим уравнением – E = mc2. Но нам здесь стоит заметить, что оно – прямое следствие математической симметрии. Эйнштейн изменил физику, впервые создав теорию из принципов симметрии вместо того, чтобы, как обычно, пытаться найти уравнения, соответствующие наблюдательным данным.

Симметрия в общей теории относительности Эйнштейна – симметрия точек зрения. Он представлял себе кого-то, кто находится в космическом корабле, вдали от источников гравитации. Внутри корабля невесомость: все предметы плавают в воздухе, совсем не так, как на земной поверхности, где гравитация тянет всё вниз. Потом Эйнштейн представил себе, что кто-то падает в гравитационном поле Земли. Но не просто падает, а находится в комнате, которая тоже падает вместе с ним. В этой падающей комнате человек тоже видел бы, что все предметы плавают в воздухе, как будто никакие гравитационные силы не действуют. С виду всё было бы точно так же, как и для человека в глубинах космоса. Для того, кто пребывает в свободном падении на Земле, гравитации больше не существует. И, как это ни странно звучит, это и стало основой современной теории гравитации.

Хотя формы существования материи, возможно, остались более или менее неизменными с самых первых минут после Большого взрыва и до сегодняшнего дня, наше понимание её стало в некотором смысле совершенно новым. Конечно, древние знали, что такое материя, и имели некоторое представление о химических элементах, приближающееся к современному. С появлением квантовой механики и современной теории атома мы смогли постичь структуру атомов и обнаружили, что все элементы построены из небольшого количества фундаментальных частиц. Поэтому потенциальный ответ на вопрос о причинах существования материи можно было получить только в контексте квантовой физики. И даже в этом контексте он не был найден в его нынешней форме, пока в 1928 году Поль Дирак не вывел названное его именем уравнение.

К концу 1920-х квантовая механика ещё не вполне сложилась как научная дисциплина. Гейзенберг уже разработал свою раннюю версию квантовой механики, известную как матричная механика, но она настолько же запутала ситуацию, насколько прояснила: во-первых, её математический язык был непонятен многим физикам, а во-вторых, было совершенно неясно, каков физический фундамент теории. Многое в ней выглядело разрозненным. Более того, применение квантового подхода ограничивалось классической физикой, а влияние электромагнитных сил не учитывалось. Дирак поставил перед собой задачу модифицировать эти уравнения, чтобы согласовать их с принципами, введёнными Эйнштейном: они должны были обладать подходящей симметрией. Сейчас уравнения Дирака рассматриваются как основа стандартной модели физики частиц – квантово-механического описания частиц и сил (за исключением гравитации!). И, хотя для завершения этой работы потребовалось много десятилетий, некоторые её неожиданные следствия стали очевидны сразу.

Уравнения Дирака содержат первое научное предсказание чего-то, что в природе раньше никогда не наблюдалось. Хотя, выводя свои уравнения, Дирак не имел в виду какой-то конкретной симметрии, уравнения симметричны относительно заряда. Электрический заряд – основное свойство материи, благодаря которому на неё оказывают влияние электрическая и магнитная силы. Количество заряда принято измерять в квантованных дискретных единицах e. Каждый электрон имеет заряд – e, а каждый протон – заряд +e. Выходит, если силой воображения мы изменим заряд электрона с – e на +e, получится протон? Ни в коем случае! Между электронами и протонами, кроме заряда, ещё множество различий: например, протон почти в 2000 раз тяжелее.