Из истории культуры древней Руси

Истинное значение отрезков трех шкал новгородского мерила (или 1/21 сажени) должно быть таково: М = 8,4; П = 7,2743; В = 5,9395.

Если мы округлим до одного десятичного знака средние величины отрезков мерила и 1/21 каждой сажени, то получим полное равенство:

Получив такой надежный результат наших вычислений, мы можем задаться целью восстановить общий облик всего мерила в его первоначальном виде (рис. 30). Уже из того факта, что великая сажень представлена здесь судя по 1/21 только полусаженью, а прямая и мерная — целыми саженями, мы должны сделать вывод, что мерило равнялось наиболее крупной из участвующих здесь мерной сажени в 176,4 см, т. е. наиболее крупному отрезку мерила (М = 8,4 см), взятому 21 раз. Путеводной нитью для нас служит взаимное положение зарубок на всех трех шкалах сохранившегося обломка мерила. Следует отметить, что, судя по зарубкам, сделанным то в верхней, то в нижней стороне граней мерила, отсчет делений велся с разных концов жезла. Вычертив в натуральную величину развертку трех граней мерного жезла длиной в 176,4 см, нанеся на нее все 21 деление для каждой шкалы и перенеся на кальку развертку найденного обломка, мы путем совмещения можем найти ту единственную позицию, при которой деления всех трех шкал реального обломка совпадут с делениями теоретического мерного жезла, тоже разделенного на три шкалы. Как видно из чертежа, обломок представлял собою среднюю часть мерного жезла. Отсчеты делений прямой сажени и великой полусажени велись с разных концов жезла, очевидно, для того, чтобы предотвратить путаницу при пользовании мерилом.

Рис. 30. Реконструкция мерила в его полном виде (176,4 см).

У прямой сажени сохранились отрезки: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16; у великой: 14, 15, 16, 17. У мерной сажени мы не знаем начальной точки отсчета (так как она вся должна была быть равномерно покрыта зарубинами), и поэтому сохранившиеся зарубки могут быть 9-14 или 7-12.

Таким образом, мы можем теперь представить себе новгородское мерило: это был длинный четырехгранный деревянный брусок, равный размаху рук человека («маховая», или мерная, сажень). На трех его гранях были нанесены сажени мерная, прямая и половина великой сажени, разделенные каждая на 21 часть, а каждая такая часть, в свою очередь, делилась на 10 ногтей. Локти и пяди настолько были излишни для владельца мерила, что одна грань бруска осталась просто пустой без всяких зарубок и отметин, хотя отметки всех трех видов локтей должны были бы иметься на нашем обломке.

Каков же смысл неожиданного и загадочного деления трех важнейших саженей на 21 отрезок?

Может показаться, что деление на 21 связано со стремлением получить пропорции золотого сечения по известному «ряду Фибоначчи»: 1. 2. 3. 5. 8. 13. 21… В 21-м делении каждой сажени содержатся семь звеньев этого ряда. Сочинение Леонарда Пизанского (Фибоначчи) появилось в 1220 г., так что с большой натяжкой можно допустить знакомство новгородцев первой трети XIII в. не только с самим трактатом, но и с его принципом. Кроме того, здесь возникают два возражения. Во-первых, пропорции золотого сечения даются не точно, а во-вторых, этим целям прекрасно служила сама система русских саженей. Если бы для получения пропорций золотого сечения русский зодчий хотел применить принцип Фибоначчи, то ему незачем было делить сажени на особые, неупотребительные единицы, а достаточно было брать размеры по 5, 8, 13, 21 обычных локтей или их фракций.

Думаю, что разгадка сущности новгородского мерила лежит в другом.

Обратим внимание на то, что если 21 деление (любое) принять за диаметр круга, то длина окружности будет равняться 66 таким же делениям: 66/21 = 3,14 = π. Со времен Архимеда π определялось как 3 1/7, что соответствует нашей дроби 66/21 (рис. 31).

Рис. 31. Круг диаметром в мерную сажень (176,4 см). Отношение длины окружности = 66/21 ≈ π.

Степень точности была совершенно достаточна для практических целей архитектора (и не только средневекового).

Возьмем в качестве примера центральную апсиду уже известной нам новгородской церкви Пятницы, внутренний поперечник которой равен двум мерным саженям. Длина полуокружности с радиусом в 176,4 (одна мерная сажень) = 3,141592… × 176,4 = 5 м 54 см 1,768288 мм. Если же мы вместо π с 6 десятичными знаками поставим 66/21 (3,1428571…), то получим величину в 5 м 54 см 4,010924 мм. Погрешность во втором случае практически неощутима: 2,24 мм (!) на всю пятиметровую апсиду.

Мерило, подразделенное на 21 часть, давало возможность древнерусскому зодчему переводить окружность и отрезки окружности, дуги в линейные меры. Наличие трех шкал на мериле позволяло переводить в линейные меры дуги с радиусом в мерную или в прямую сажени или в великую полусажень.

Из всех вариантов архимедовой дроби для π (22/7; 44/14; 66/21; 88/28; 110/35) вариант 66/21 был практически наиболее удобным, так как числитель делился не только на 2, но и на 3 и на 6, что было важно для зодчих, а остальные варианты не делились на 3.

Деление круга на 66 частей, а по существу на 660, так как каждая 1/21 была разделена на 10 «ногтей», заменяло принятое в других странах деление круга на 360 делений[173]. Деление круга на 660 частей заменяло русским зодчим деление на градусы и минуты и вполне удовлетворяло всем практическим требованиям.

Круг, разделенный на 660 частей с диаметром, равным сажени, разделенной на 210 точно таких же частей, позволял зодчему переводить все полуокружности и дуги в своем проекте на язык мастеров-исполнителей, как мы теперь сказали бы на язык рабочих чертежей, при изготовлении многочисленных кружал для арок, закомар, окон и порталов. Для всего интерьера церкви Пятницы, для ее трех притворов и трех фасадов, апсиды и барабана с куполом нужно было изготовить свыше сотни деревянных кружал разного профиля.

Процесс изготовления полуциркульных и лекальных кружал, требовавший очень большой точности, начинался, по всей вероятности, с чертежа в натуральную величину на плотно утрамбованной земле типа тока. Там, где применялись правильные полуциркульные арки в 180°, дело было просто и зодчий мог ограничиться только указанием радиуса. Однако в Пятницкой церкви не все арки были строго полуциркульны. В центральном и северном нефе есть ряд арок с усеченным закруглением, где дуга арки опирается не на диаметр круга, а на хорду и размер дуги — не 180°, а всего лишь около 140°.

Каким образом зодчий мог передать плотникам, делавшим кружала, размер дуги будущей арки, если система градусного измерения углов не была тогда известна на Руси? Вот здесь-то и приходит на помощь наше линейно-круговое мерило. Пользуясь им, зодчий мог сказать плотникам, что в начерченном на земле полукруге следует убавить по 5 больших делений мерила с каждой стороны. Это давало по нашему счету 27° 15′. Для отсчета указанных 5 делений (той сажени, которой очерчен полукруг) необходимо было иметь в дополнение к мерилу вилку-циркуль размером в одно деление, и убавление должно было вестись не путем отмеривания хорды в 5 делений (для этого излишне было π, содержащееся в нашем мериле), а путем последовательного отмеривания каждого отдельного деления по линии окружности.

Линейно-круговое мерило было совершенно необходимо при обозначении апсиды и ее деталей, так как невозможно было измерить ее полуцилиндрическую поверхность обычными линейными мерами. Апсида Пятницкой церкви является прекрасным примером употребления мерной и прямой сажени в их линейно-круговом выражении (рис. 32).

Рис. 32. Пример использования линейных мер для построения полуокружности (апсида ц. Пятницы 1207 г.)

Наше постоянное обращение к Пятницкой церкви вполне оправдано, прежде всего, хронологическими соображениями: церковь построена в 1207 г., а мерило найдено на рубеже 16-го и 17-го ярусов; 16-й ярус построен, по справке Б.А. Колчина, в 1228 г. К этому времени мерило уже находилось в культурном слое в виде разрозненных обломков, из которых два найдены археологами, а два или более (края жезла) залегают где-то в стороне. Таким образом, бытование мерила в качестве целой вещи следует отнести к 17-му ярусу, датируемому 1201–1227 гг. Следовательно, наше мерило является точным современником Пятницкой церкви. Найдено оно сравнительно недалеко от Пятницы, и нельзя отвергнуть как невероятное допущение, что оно могло принадлежать строителю церкви Пятницы или какой-либо другой церкви Новгорода 1201–1227 гг.

Возвращаюсь к пятницкой апсиде. Внутреннее пространство центральной апсиды образовано полукругом в 2 мерных сажени в диаметре. На определенном уровне в апсиде устроены три окна.

Оказалось, что все размеры, расположенные на полуокружности, выражены через 1/21 мерной сажени:

от начала закругления до окна — 11/21;

окно — 10/21;

простенок между окнами — 7/21.

Суммируя 3 окна, 2 простенка и 2 боковых размера, мы получаем точно 66/21.

Внешняя сторона много сложнее, но тем интереснее, что она вся построена с опорой на 1/21 прямой сажени (так как полукруг здесь проведен радиусом в 2 прямых сажени).

По апсиде снаружи идут 4 вертикальные тяги в один кирпич; охваченная ими часть полукруга равна 100/21; до конца закругления в обоих случаях — 16/21. Тяги равны двум с половиной делениям мерила. Расстояние между тягами (по окружности, разумеется) равно 30/21, а внутри оно делится так: окно 14/21, простенки до тяг по 8/21. Снова общая сумма всех частей дает нам полный полукруг: (16×2) + 100 = 132/21.

Таким образом, пользуясь двумя шкалами нашего мерила, архитектор смог расчислить все элементы плана апсиды, выразив их не в обычных линейных мерах, непригодных для измерения вогнутых и выпуклых поверхностей, а при помощи линейно-кругового мерила, специально предназначенного для перевода долей окружности в прямолинейные хорды, равные 1/21 диаметра.

При помощи такого линейно-кругового мерила можно было построить и значительно более сложные элементы здания, как, например, трехлопастную арку или шлемовидный купол (рис. 33).

Рис. 33. Построение контура шлемовидного купола при помощи линейного мерила.

Судя по сохранившимся пронумерованным по славянской системе медным позолоченным листам купола и кровли Успенского собора во Владимире работы по пригонке листов велись не на вершине построенного купола в нескольких десятках метров над землей, а на земле, на какой-то, очевидно деревянной, модели купола, где листы подгонялись один к другому, набивались на болванку и тщательно нумеровались, после чего их легче было в том же порядке набить на настоящий каркас купола на высоте. Эта тонкая работа производилась грамотными мастерами (успенские листы дают три разных почерка), которые могли изготовить сложные деревянные лекала для модели купола.

Для получения лекального каркаса мы должны предположить вспомогательный чертеж в виде квадрата со стороной, равной внешнему диаметру барабана купола.

Основу фигуры создавал полукруг; снизу делались расширения в 2/21-3/21. Шишак шлема мог быть сделан дугами, проведенными с боковых сторон вспомогательного квадрата. Один из возможных вариантов показан на чертеже.

Линейно-круговое мерило, являющееся знаменателем π (66/21), вводит нас в интересный раздел зодческих расчетов начала XIII в., так как позволяет ответить на не решенный до сих пор вопрос о методах измерения окружности и ее частей. В этом ценность новой находки Новгородской археологической экспедиции.