Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Любопытные числа Индии

0

0 — это пустота, отсутствие числа. Как мы уже говорили, ноль впервые появился в Индии. На санскрите он обозначается словом «сунья», что означает «пустота» или «отсутствие». Индийские математики использовали его уже во II веке до н. э., а в западную цивилизацию ноль попал с заметным опозданием — благодаря арабам, которые называли его «сифр» (от этого слова происходят слова «цифра» и «зеро», то есть «ноль»). В Индии ноль использовался столь широко, что упоминания о нем можно встретить даже в поэмах и священных текстах. Например, поэт Бихари Аал в своем знаменитом сборнике поэм «Сатсаи» вложил в уста прекрасной женщины такую фразу: «Эта [закрашенная] точка на лбу удесятеряет ее красоту точно так же, как 0 удесятеряет число». Это очевидное указание на свойство нуля в десятичной позиционной системе счисления: если приписать 0 справа от числа, оно автоматически умножается на 10.

Определение нуля сыграло огромную роль в культуре. Прийти к нему было непросто. Например, вавилонские мудрецы никогда не использовали существовавший у них символ «двойной клин» в значении «число 0». Как мы уже говорили в главе, посвященной особым числам древности, этот символ имел значение «пустота», но, по-видимому, не трактовался как «ничто».

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА В ИНДИИ

Индийцы не рассматривали математику исключительно как геометрию. Математики здесь первыми ввели отрицательные корни уравнений и два квадратных корня положительных чисел. Кроме того, они свободно перемножали положительные и отрицательные числа, хотя и считали последние подозрительными. Так, математик Бхаскара, говоря об отрицательном корне уравнения второй степени, сказал: «Второе значение в этом случае рассматривать не следует, так как оно неподходящее; люди не принимают отрицательных корней».

3

Как и в западной культуре, в Индии число 3 считалось мистическим. Возможно, европейцы заимствовали понятие троицы именно у индийцев. В Индии 3 обозначало Тримурти (в переводе с санскрита — «троица»), которую образовывали создатель вселенной Брахма, ее охранитель Вишну и разрушитель Шива. В философии санкхья три этих божества есть не более чем три формы одной сущности. В языке хинди божественная троица обозначалась мистическим слогом ОМ (в действительности «аум», где «а» обозначало Брахму, «у» — Вишну, «м» — Шиву).

При посвящении в монахи буддистскому послушнику предлагают три одеяния, поднося их на носилках. Послушник принимает их, слегка касаясь их палкой, но не рукой.

Брахма, Вишну и Шива на картине середины XVIII века. Как и в западной цивилизации, число 3 и объединение в тройки имело в индийской культуре огромное значение.

4

В доктрине дхармы определены четыре состояния человека: брахмачарья, грихастха, ванапрастха и санньяса, три из которых необходимо прожить в нравственной чистоте. Индуистская теософия также учит, что Брахма разделил людей на четыре сословия, или варны: первая — брахманы, которым известны вечные истины, поэтому их предназначение — вести всех людей земным или небесным путем; вторая — кшатрии, чье предназначение — управлять землей и военным порядком; третья — вайшьи, чье предназначение — добывать и распределять материальные блага; четвертая и последняя — шудры, рожденные у ног Брахмы. Когда все сословия исполняют свое предназначение и соблюдают иерархию, господствуют порядок и справедливость, которую символизирует бык, твердо стоящий на четырех ногах.

4 — важное число в буддизме. Сиддхартха Гаутама, принц одного из непальских племен, стал Буддой, достигнув просветления и познав Четыре благородные истины: мир и жизнь человека есть страдание; причина страдания, или беспокойной неудовлетворенности — ненасытное стремление; освободиться от беспокойной неудовлетворенности означает отказаться от желаний, достичь нирваны; путь к нирване — это дхарма, справедливость и соблюдение буддийских законов.

По легенде, Гаутаме были даны четыре откровения, которые наставили его на истинный путь. Во время одной из долгих прогулок в одиночестве Гаутама повстречал старика, во второй раз — больного, в третий раз — мертвеца, в четвертый раз — аскета. Вид дряхлого и немощного старца, больного, покрытого язвами, мертвеца, чье тело начало разлагаться, а также беседы с аскетом стали для него сродни лучу света, который помог увидеть неизбежный конец всего сущего и глубокую тщетность человеческих устремлений.

5

В «Упанишадах» говорится, что сердце имеет пять отверстий для богов. «Его переднее отверстие — прана. Это — зрение, это — солнце. Их должно почитать как жар, как поглощение пищи. Тот, кто знает это, становится полным жара и поглощающим пищу. Далее, его правое отверстие — вьяна. Это — слух, это — луна. Их должно почитать как счастье, как славу. Тот, кто знает это, становится счастливым и славным. Далее, его заднее отверстие — апана. Это — речь, это — огонь. Их должно почитать как брахманический блеск, как пищу. Тот, кто знает это, становится полным брахманического блеска и поглощающим пищу. Далее, его левое отверстие — самана.

Это — мысль, это — дождь. Их должно почитать как прославление, как красоту. Тот, кто знает это, становится прославленным и прекрасным. Далее, его верхнее отверстие — удана. Это — ветер, это — пространство. Их должно почитать как силу, как величие. Тот, кто знает это, становится сильным и великим. Поистине они, эти пять стражей Брахмана, охраняют врата небесного мира. В доме того, кто знает этих пятерых стражей Брахмана, охраняющих врата небесного мира, родится храбрец».

Буддисты верят, что существует пять богов, объединенных общим именем Панчаракша («пятикратная охрана»), которое берет начало в персонификации пяти магических заклинаний (ракша), произнесенных самим Буддой. В буддизме число 5 упоминается во множестве наставлений. Например, чувственные желания возбуждают пять струн: зрение, слух, обоняние, тактильные и вкусовые ощущения. Полученные с их помощью удовольствия называются чувственными.

Число 5 широко присутствует в буддизме. На иллюстрации представлено тибетское изображение Будды, датируемое концом XIII века, на котором Сиддхартху Гэутаму сопровождают множество образов, символизирующих пять дхьяни, или пять качеств.

6

Последователи индийского религиозного течения джайнизм принимают концепцию брахманов о шести возрастах мира. В этой концепции мы с вами живем в мире пятого возраста, который начался в 523 году до н. э. и является периодом боли. За этим возрастом последует шестой и последний, продолжительностью в 21 тысячу лет, по окончании которого человеческая раса переживет ужасные изменения, но это не повлечет за собой исчезновения Вселенной, так как для последователей джайнизма Вселенная является неразрушимой и бесконечной.

Шесть — также число великих учителей Будды: Кашьяпа настаивал, что действия не требуют вознаграждения; Маскарин Кошалакапутра утверждал, что путь сущего определен и никакие усилия не имеют смысла; Аджита Кашакамбалин считал, что человек состоит из четырех элементов, которые разделяются после смерти; Какуда Катьяяна был убежден, что человек состоит из семи неизменных элементов и при убийстве в действительности нет ни убийцы, ни жертвы; Саньджаин Вераттикапутра полагал, что ни на один метафизический вопрос нельзя дать окончательного ответа; и наконец, Джина Махавира говорил, что в каждой жизни следует претерпеть суровое наказание в искупление вины предыдущих жизней.

8

В буддистской традиции существует восемь судеб, которые защищает богиня Аштамангала Деви («богиня восьми судеб»). Она изображается в окружении восьми буддистских образов судьбы, а именно: колеса закона (дхармачакры), морской раковины (шанкха) — символа благословения, кувшина с водой (калаша), содержащего в себе напиток бессмертия, двух рыб (матсья-югма) — символа плодородия, белого зонтика (ситатапатра) — символа высокого положения, лотоса (падма), символизирующего чистоту желаний, бесконечного узла (грантхи) — символа безграничного богатства, и знамени (двайя) — знака триумфа учения Будды.

ВОСЕМЬ ЗМЕЙ И ВОСЕМЬ МЕРТВЕЦОВ

Кродадеваты, что в переводе с древнеиндийского означает «гневные боги», изображались с кожей темно-синего или красного цвета, имели третий глаз, волосы на их головах были подобны языкам пламени, а на их украшениях были изображены восемь змей и восемь мертвецов. Роль богов заключалась в том, чтобы сражаться с противниками буддистского учения.

В сборнике буддийских наставлений под названием «Ангуттараникая» говорится, что существует путь, ведущий к прекращению страданий, который называется Благородным восьмеричным путем. Он состоит из восьми ступеней, а те, в свою очередь, относятся к трем моральным категориям: Панна, или мудрость (истинное воззрение и истинное намерение), Шила, или нравственность (истинная речь, истинные поступки и истинный образ жизни), и Самадхи, или духовная дисциплина (истинное усердие, истинное размышление и истинное сосредоточение).

Число 8 очень часто встречается в буддизме: так, у многих божеств, например у Тары, изображенной на иллюстрации, восемь рук, которые могут служить символом Благородного восьмеричного пути.

В «Упанишадах» говорится, что человек — это жертва. Первые 24 года есть утренняя жертва, так как гаятри-мантра, которой сопровождается утреннее жертвоприношение, состоит из 24 слогов. 44 следующих года — полуденное жертвоприношение. Полуденное жертвоприношение сопровождает стихотворный размер триштубх, который содержит 44 слога. Следующие 48 лет — это третье жертвоприношение. Стихотворный размер джагати содержит 48 слогов, и третье жертвоприношение сопровождается джагати. 116 лет жил Айтарейя (116 = 24 + 44 + 48). Тот, кому известна эта мудрость, также живет 116 лет.

СЧЕТ В СТИХАХ

Период индийской истории с V по VIII века некоторые западные историки называют эпохой поэзии, которая пропитывала в то время буквально все. Не стала исключением и математика. Посмотрим, как индийцы того времени формулировали математические задачи:

«Нить ожерелья в любовных утехах порвалась.
Жемчуга нитка одна ускользнула.
Шестая часть жемчужин на пол упала.
Пятая часть — на кровати осталась.
Треть подобрала юная дева.
Любовник собрал жемчужин десятую часть.
Шесть последних жемчужин на нити осталось.
Сколько жемчужин было на ожерелье сначала?»

Эта задача взята из «Лилавати» — знаменитого математического трактата в стихах, написанного Бхаскарой II ок. 1150 года. Другая задача в стихах, записанная в прозе, звучит так: «Прекрасное дитя с лучистыми глазами, скажи мне, если известен тебе метод обращения: какое число, если его умножить на 3, увеличить на 3/4 этого произведения, разделить на 7 и уменьшить на 1/3 частного, затем умножить полученный результат сам на себя, уменьшить на 52, извлечь квадратный корень, прибавить к нему 8 и разделить на 10, дает 2?» В завершение приведем третий пример, содержащий мистический подтекст, которым была наполнена вся индийская математика. «Два аскета живут в хижине на горе известной высоты, основание которой находится на известном расстоянии от ближайшей деревни. Чтобы попасть в деревню, один из них спустился с горы и направился к ней пешком. Другой же был волшебником и предпочитал летать: он вознесся на некоторую высоту по прямой, а затем, вновь вдоль прямой линии, направился в деревню. Какой должна быть высота горы, чтобы путь, пройденный обоими аскетами, был одинаков?»