Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Любовь индийцев к огромным числам

Индийская космология полна огромных чисел, которыми индийцы обозначали сущности или системы, находящиеся за гранью человеческого понимания. Их любовь к огромным числам была столь велика, что они ввели отдельное обозначение для числа 100000 (105): лакх. Помимо вычислений, оно использовалось для обозначения людей (1 лакх собравшихся людей) и денег (вещь стоит 1 лакх рупий). Еще одной единицей измерения был крор (сокращенно сr), равный 107 (10000000), или, что аналогично, 100 лакхам. Обе эти единицы измерения до сих пор широко используются в Бангладеше, Индии, Непале и Пакистане. Например, сумма в 230 миллионов рупий записывается так: «Rs 23 сr». Далее мы вкратце расскажем о некоторых огромных числах, которые использовали индийцы.

36 000

В индуистской мифологии число 36 000 использовалось при объяснениях того, как возник разум, «я», иное «я», очертания которого выходили за рамки первичного разума. Его значение поможет понять отрывок из книги «Ка» Роберто Калассо: «Праджапати был один. Он даже не был уверен, существует он или нет. «Так сказать», iva. (Говоря об этом определяющем моменте, следует оттенить утверждение этой частицей, iva, которая ничего не связывает.) Существовал лишь разум — манас. Однако разуму свойственно не знать, существует он или нет. Хотя он предшествует всему остальному. «Ничто не существует прежде разума». И еще до того, как разум удостоверился, что он в самом деле существует, он уже возжелал. Он был непрерывным, неопределенным, бесформенным. Словно привлеченный чем-то странным, принадлежащим к другой форме жизни, он возжелал чего-то, что было определенным, иным, имело очертания. Само себя, атман: так он назвал это. Разум представил это как нечто прочное. Совершив это действие, разум раскалился. Он увидел, как зажглись тридцать шесть тысяч огней, сотворенных разумом и для разума. Между огнями были подвешены тридцать шесть тысяч чаш, также сотворенных разумом».

2160 000 000

В индуизме Вселенная живет столько, сколько длится сон Брахмы. Когда он проснется, Вселенная исчезнет, но снова родится, когда Брахма вновь уснет. Брахме суждено видеть мир в своем сне, а нам суждено быть его сном. Продолжительность его сна составляет 2160 миллионов земных лет. В других версиях продолжительность сна Брахмы в два раза больше и равна 4320 миллионам лет.

БАШНЯ БРАМЫ

они совершают одно движение в секунду, никогда не останавливаются и не ошибаются, то, учитывая, что в году 365,25 дня, то есть 31557600 секунд, им потребуется свыше 584 миллиардов лет, точнее 584542046090 лет, 7 месяцев, 15 дней, 8 часов, 54 минуты и 24 секунды. Это успокаивает — конец света наступит еще не скоро.

Математик Эдуард Люка, вдохновившись огромными числами из индийской космологии, в 1883 году создал игру «Ханойские башни»» и придумал следующую историю. В великом храме Варанаси, под куполом, который символизирует центр мира, покоится бронзовая пластина, на которой закреплены три алмазных стержня примерно полметра высотой и шириной с брюшко осы. На один из этих стержней в момент Творения Бог поместил 64 диска из чистого золота. Самый большой диск покоился на бронзовой пластине, остальные по убыванию размеров были нанизаны на стержень так, что каждый диск лежал поверх большего. Так располагались все 64 диска. Стержень, на который были нанизаны 64 диска, назывался Башней Брамы. День и ночь жрецы переносили диски с одного стержня на другой согласно неизменным и непреложным законам, по которым ни один жрец не мог перемещать больше одного диска за раз, и его следовало всякий раз нанизывать на стержень так, чтобы под ним не находилось ни одного диска меньшего размера. Когда все 64 диска будут перенесены со стержня, на который они были помещены Богом, на любой из двух других стержней, башня, храм и жрецы обратятся в прах, раздастся невероятный грохот, и мир перестанет существовать.

Математики подскажут нам, сколько времени потребуется жрецам, чтобы завершить работу. Чтобы переместить башню целиком, им потребуется 264 — 1 движение, то есть 18446744073709551615. Если они совершают одно движение в секунду, никогда не останавливаются и не ошибаются, то, учитывая, что в году 365,25 дня, то есть 31557600 секунд, им потребуется свыше 584 миллиардов лет, точнее 584542046090 лет, 7 месяцев, 15 дней, 8 часов, 54 минуты и 24 секунды. Это успокаивает — конец света наступит еще не скоро.

Последовательность ходов в игре, придуманной Эдуардом Люка, изображенная на гравюре конца XIX века.

4320 000 000

В брахманизме время жизни материальной Вселенной ограничено, и она циклически воспроизводит себя каждую кальпу — «день Брахмы». Как гласит Бхагавад-гита, «все обитатели Вселенной, включая ее творца Брахму, вынуждены рождаться и умирать вновь и вновь. Но тот, кто обрел убежище в Моей Обители, обретает бессмертие. День Брахмы длится тысячу великих эпох (махаюг), каждая из которых состоит из четырех малых эпох (1000 раз по 4320000 земных лет). Столько же длится его ночь. Кто знает об этом, тот знает, что такое день и ночь». Таким образом, четыре эпохи, составляющие махаюгу, должны повториться тысячу раз, чтобы образовать день Брахмы — единицу времени, равную 4320000000 земных лет.

В индийской космологии таков возраст всей сотворенной Вселенной. За один день Брахмы мир появляется, развивается и исчезает. За этим циклом следует другой цикл «вселенского покоя» такой же продолжительности, затем начинается новая кальпа, и так до бесконечности. Иными словами, каждая кальпа должна заканчиваться всеобщим разрушением вселенной (пралая), за которым следует период бездействия («ночь Брахмы»), по длительности равный «дню», затем будет создана новая Вселенная. Именно в этот период бездействия Вишну, опершись на змея Ананту, символ бесконечности и вечности, ожидает, когда Брахма проснется, и Вселенная вновь будет сотворена.

На этом рисунке конца XIX века изображены Лакшми и Вишну, опирающиеся на змея Ананту, которые ожидают наступления нового дня Брахмы.

108 470 495 616 000

Когда Будда по просьбе Арджуны объяснил ему и остальным ученикам, сколько элементарных атомов содержится в йоджане (единице длины), он назвал число 108470495616000.

311 040 000 000 000

В Бхагавад-гите, классическом тексте индуизма, говорится, что общая продолжительность жизни Брахмы равна 311040000000000 человеческих лет. В некоторых комментариях указывается, что «этот впечатляющий срок, который кажется нам бесконечным, представляет собой не более чем 0 в безграничной вечности».

18 446 744 073 709 551 615

Это 20-значное число в сокращенном виде можно записать как 264 — 1. По легенде о Сиссе бен Дахире, именно столько зерен риса должен был заплатить раджа тому, кто научил его играть в шахматы: на первую клетку доски нужно было положить одно зерно риса (или пшеницы), на каждую последующую из 64 клеток доски — в два раза больше зерен, чем на предыдущую.

10140

Число 10140 в буддизме носит название асанкхейя. В переводе с санскрита это слово означает «неисчислимый».

12 345 654 321 И ЧИСЛОВАЯ ПИРАМИДА

Это число-палиндром упоминается в индийском тексте IX века. Его описание гласит: «начинается с 1, пока не достигнется 6, затем убывает в том же порядке». Речь идет о числе 12345654321, так как оно следовало за описанием умножения 111111∙111111. Этот способ умножения применим к квадратам различных чисел, запись которых состоит только из единиц. Результат записывается в виде элегантной пирамиды, все числа в которой являются палиндромами (они читаются одинаково справа налево и слева направо):

Выдающийся индийский математик Сриниваса Рамануджан

Следует подробнее остановиться на личности исключительного индийского математика Сриниваса Рамануджана (1887–1920), о котором Джон Идензор Литлвуд говорил: «Любое целое положительное число было его близким другом». Хотя Рамануджан принадлежал к касте брахманов, его родители жили в бедности. Он поздно начал говорить, но быстро обратил на себя внимание учителей благодаря способностям к вычислениям. Рамануджан получил университетский диплом математика в 1904 году, однако в то время в Индии не было работы для профессиональных математиков. Ученого хорошо описывает анекдот: студент Сринивасан, который познакомился с Рамануджаном в Кумбаконаме — городе его детства, — как-то сказал математику: «Рамануджан, говорят, что ты гений». Тот ответил: «Я вовсе не гений. Взгляни на мой локоть. Он расскажет тебе мою историю». Его локоть был испачкан — в то время Рамануджан жил в крайней нищете и делал записи на небольшой грифельной доске, с которой стирал неправильные формулы локтем, — это было быстрее, чем тянуться за тряпкой. Рамануджан добавил: «Гением меня делает мой локоть».

Индийская марка, на которой изображен Сриниваса Рамануджан — гениальный математик, умерший в 32 года от туберкулеза.

В зрелые годы он записывал уравнения и символы в блокнотах. Считается, что его блокноты содержат от трех до четырех тысяч теорем. Почти две трети из них были ранее неизвестны математикам, остальные он нашел независимо от математиков прошлого. Больше всего поражает красота этих уравнений, которая сочетается с внутренней гармонией математических отношений, описываемых ими. Обратите внимание, например, на гармоничность этого уравнения:

Сумма ряда равна прекрасному числу 2/π, а разность между коэффициентами (1, 5, 9 и 13) постоянна и равна 4.

БЫСТРОТА РАМАНУДЖАНА

Как-то раз один из друзей Рамануджана предложил ему найти решение следующей системы уравнений, которую не мог решить сам:

√х + у = 7,

√у + х = 11.

Рамануджан дал ответ мгновенно. Сможете ли вы найти его сами? Для сомневающихся приведем решение: х = 9, у = 4.

Еще одно прекрасное уравнение Рамануджана:

Что вы видите? В правой части записано золотое число (√5 + 1)/2. Этого простого примера достаточно, чтобы дополнить красоту уравнения определенным мистическим оттенком.

Наконец, приведем еще одну элегантную непрерывную дробь, которая содержится в следующем уравнении Рамануджана:

Рамануджан говорил, что открытия ему подсказывает богиня Намаккаль.