Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Числа с фантастическими названиями

Совершенные числа

Совершенство свойственно не только чему-то возвышенному, утопическому или божественному, но и некоторым числам. По определению, совершенное число — это число, равное сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. В античные времена это свойство считалось проявлением божественного, отсюда и происходит название таких чисел. Так, Аврелий Августин (354–430) в своей книге «О граде Божьем» утверждал, что Бог создал мир за шесть дней, следовательно, 6 является совершенным числом (6 = 3 + 2 + 1), равно как и 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) — за столько дней Луна совершает полный оборот вокруг Земли.

И действительно, два первых совершенных числа — это 6 и 28. Два следующих совершенных числа — это 496 и 8128. Они равны сумме своих делителей:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4084.

ЛЮБОПЫТСТВО

Если внимательно рассмотреть первые четыре совершенных числа (6,28,496 и 8128), то можно предположить, что n-е совершенное число будет содержать n цифр, но это не так. Следующим совершенным числом является 33550336. Тогда можно предположить, что последними цифрами совершенных чисел являются поочередно 6 и 8, однако и это неверно: следующим совершенным числом является 8589869056. Верная гипотеза такова: четные совершенные числа заканчиваются либо на 6, либо на 8 (следующее совершенное число равняется 137 438691328).

В поисках совершенных чисел

Первые четыре совершенных числа упоминаются уже во «Введении в арифметику» Никомаха Герасского (I век н. э.). Пятое число, 33550336, упоминается в рукописи XV века, шестое (8589869056) и седьмое (137438691328) были открыты

Пьетро Антонио Катальди в 1588 году. Восьмым совершенным числом является 230М31 (где М31 — это 2,147483647, тридцатое простое число Мерсенна), открытое Эйлером в 1750 году. Позднее были вычислены еще два совершенных числа, последнее из которых, 21278∙(21279—1), состоит приблизительно из 770 цифр.

Слева — страница трактата "О граде Божьем" 1470 года издания, в котором Аврелий Августин упоминает совершенные числа. Вверху — компьютер Сrау-2, хранящийся в Музее компьютерной истории в Кремниевой долине. В 1990-е годы с его помощью были вычислены новые совершенные числа.

В 1992 году с помощью компьютера Cray-2 было найдено новое простое число Мерсенна: 2756839 — 1. Зная это число, ученые смогли легко вычислить следующее совершенное число, самое большое из известных на тот момент:

2756838∙(2756839 —1)

Оно состоит из 455663 цифр, для которых потребуется примерно 180 листов бумаги. Сегодня самое большое из известных совершенных чисел равняется

23021376 (23021377 — 1)

Оно было получено с помощью самого большого из известных простых чисел — 23021377 — 1, которое является простым числом Мерсенна. По сути, с открытием каждого последующего простого числа Мерсенна вида 2n — 1 можно найти новое совершенное число: достаточно умножить найденное простое число Мерсенна на 2n-1. Так, простое число 23021 377— 1 позволяет получить тридцатое совершенное число 23021376 -1).

Почти совершенные числа

16 — это почти совершенное число, так как сумма его делителей, за исключением его самого, на единицу меньше него: 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Как вы увидите чуть позже, когда мы будем говорить об избыточных числах, все степени 2 являются почти совершенными числами. Неизвестно, существуют ли нечетные почти совершенные числа.

Если сумма делителей числа на единицу больше него самого, это число называется квазисовершенным. Оно должно быть нечетным и являться квадратом нечетного числа, но до сих пор не найдено ни одного такого числа. Если оно и существует, то должно быть больше 1035.

Кратно совершенные числа

Французский математик Марен Мерсенн обнаружил, что сумма делителей числа 120 равняется 2∙120 = 240, и предложил своему другу Декарту найти числа, сумма делителей которых была бы кратна самим этим числам. В предыдущем случае имеем: 120 = 23∙3∙5, делителями числа 120 являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 и 60, их сумма равна 240 = 2∙120. Если в число этих делителей включить само число 120, то их сумма будет равна 360 = 3∙120, поэтому это число называется «трижды совершенным». Всего известно шесть чисел, обладающих этим свойством: 120, 672, 523776, 459818240,1476304896 и 31001180160. Все эти числа, как и совершенные числа, четные. Если трижды совершенное нечетное число существует, оно превышает 1070 и имеет по меньшей мере одиннадцать простых делителей.

Известны сотни кратно совершенных чисел вплоть до 9-го порядка (для этих чисел сумма делителей в девять раз больше самого числа). Одно из наименьших кратно совершенных чисел 8-го порядка открыл человек-компьютер Алан Браун. Оно записывается так: 2∙323∙59∙712∙113∙133∙172∙192∙23∙292∙312∙37∙41∙53∙61∙672∙712∙73∙83∙89∙103∙127∙131∙149∙211∙307∙331∙463∙521∙683∙ 709∙1279∙2141∙2557∙5113∙6481∙10429∙20857∙110563∙599479∙16148168401.

Дружественные числа

С древних времен два числа называются дружественными, когда каждое из них равно сумме делителей другого числа за исключением его самого. 220 и 284 — единственные дружественные числа, которые упоминаются в древних книгах по арифметике. Рассмотрим, как эти числа удовлетворяют описанному нами условию.

Делители 220: 1, 2, 4, 5, 10, И, 20, 22, 44, 55, 110 (их сумма равна 284).

Делители 284: 1, 2, 4, 71, 142 (их сумма равна 220).

Уже в Библии говорится, что Иаков предложил брату 220 овец в знак примирения. В иудейской экзегетике число 220 считается магическим. Дружественные числа также часто упоминаются в арабских текстах. Например, Ибн Хальдун (1332–1406) в своем трактате «Пролегомены» признает чудесные свойства этих чисел, которые можно использовать при создании талисманов и гороскопов.

Портрет Ибн Хальдуна на банкноте 10 тунисских динаров. Этот арабский мудрец XV века в своих трудах упоминает дружественные числа, которые к тому времени были широко изучены арабскими математиками.

Увлечение дружественными числами затем перешло в Европу, где они привлекли внимание таких авторов XVI века, как Шюке, Этьен де ля Рош, Кардано и Тарталья. Однако первым из западных математиков нашел новую пару дружественных чисел француз Пьер Ферма (1601–1665). Применив правило, которое до него уже использовал арабский математик Абу-л-Хасан Сабит ибн Курра, Ферма в 1636 году открыл два новых дружественных числа: 17 296 и 18416 (хотя, по всей видимости, эти числа несколькими веками ранее открыл другой арабский математик, Ибн ал-Банна ал-Гарнати). Опубликовав свое открытие, Ферма бросил вызов Декарту, предложив ему найти еще одну пару дружественных чисел. Декарт принял вызов и два года спустя, в 1638 году, в письме к Марену Мерсенну упомянул пару открытых им чисел: 9363584 и 9437056.

Эйлер, которого называли повелителем математиков, продолжил исследование этой темы и в 1747 году составил список из 30 пар дружественных чисел, позднее расширив его до 60 пар. И хотя в 1909 году было показано, что два найденных им числа в действительности не являются дружественными, а в 1914 году были найдены еще два числа, ошибочно включенные им в список, это не умаляет заслуг великого швейцарского математика.

Вторая наименьшая пара дружественных чисел (1184 и 1210) была открыта Никколо Паганини в 1866 году, когда ему было всего 16 лет. Ранее эту пару чисел упустили из вида Ферма, Декарт и даже Эйлер. Третья пара дружественных чисел в порядке возрастания (12285 и 14595), которая также не попала в поле зрения вышеупомянутых математиков, была открыта Брауном в 1939 году.

В настоящее время благодаря компьютерам список дружественных чисел существенно увеличился, и сегодня известно более 400 их пар. Любопытно, что большинство дружественных чисел (но не все) делятся на 3.

Почти дружественные числа

Числа 195 и 140 образуют вторую пару почти дружественных чисел. Этим числам чуть-чуть не хватает до того, чтобы считаться дружественными:

σ(140) = σ(195) = 140 + 195 + 1, σ(m) = σ(n) = m + n +1,

где σ(n) обозначает сумму всех делителей n, включая само это число.

Первая пара почти дружественных чисел — это числа 48 и 75, последующие пары таковы: (140; 195), (1050; 1925), (1575; 1648)…

Представление первой пары в виде суммы делителей выглядит так:

σ(48) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 + 48 = 124,

σ(75) = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 + 75 = 124,

σ(48) = σ(75) = 48 + 75 + 1 = 124.

Общительные числа

Общительными называются числа, которые обладают теми же свойствами, что и дружественные, но образуют они не пары, а большие группы. Сумма делителей первого числа из такой группы равна второму числу, сумма делителей второго — третьему и т. д. Сумма делителей последнего числа равняется первому числу в группе. Например, таким свойством обладают числа 12496, 14288, 15472, 14536 и 14264.

Радостные числа

Раз числа могут быть простыми, совершенными и дружественными, почему они не могут быть радостными? Определим алгоритм: выберем целое положительное число, записанное в десятичной системе счисления, и найдем сумму квадратов его цифр, которая будет другим целым положительным числом. Для этого числа снова найдем сумму квадратов его цифр, затем будем повторять эти действия до тех пор, пока не получим 1 или не придем к бесконечному циклу. Числа, для которых результат этих действий равен 1, называются радостными.

Число 203 является радостным, так как 22 + 32 = 13; 12 + 32 = 10; 12 + 02 = 1. Радостными, например, являются 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97 и 100.

Число 4 не является радостным, так как образует цикл: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4… и т. д.

Амбициозные числа

Амбициозным называется число, удовлетворяющее следующему условию: последовательность, которая образуется при сложении делителей этого числа, затем при сложении делителей полученной суммы и т. д., заканчивается совершенным числом. Например, 25 — амбициозное число, так как его собственными делителями являются 1 и 5, 1 + 5 = 6, а 6 — совершенное число.

Счастливые числа

Простые числа можно найти с помощью решета Эратосфена: нужно записать все натуральные числа по порядку, после чего вычеркнуть кратные 2, кратные 3 и т. д. Оставшиеся числа будут простыми. Для счастливых чисел есть похожий способ: нужно записать все натуральные числа по порядку и вычеркнуть все четные. Останется последовательность: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19… Следующим числом после 1 является 3, поэтому далее мы вычеркнем каждое третье число и получим новый ряд: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19… Первое из оставшихся чисел — 7, поэтому затем мы вычеркнем каждое седьмое число последовательности. В результате мы получим числовой ряд, который начинается так: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51…

Портрет Эратосфена — греческого математика, жившего в II–I веках до н. э., в честь которого назван метод нахождения целых чисел.

Эти числа называются счастливыми, возможно, потому что они избежали жесткого отсева и обладают многими общими свойствами с простыми числами. Это дает основания полагать, что простые числа обладают этими свойствами не потому, что делятся только на 1 и на само себя, а потому, что их можно найти с помощью решета Эратосфена. Возможно, числа из произвольной последовательности, построенной похожим методом, будут обладать подобными свойствами.

Самовлюбленные числа