Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Числа тоже любят смотреть на свое отражение в водах математической гармонии. В десятичной системе счисления число называется самовлюбленным, если оно равно сумме своих цифр, каждая из которых возведена в степень, равную количеству цифр числа. Наименьшее из них — 153, равное 13 + 53 + 33. Следующее такое число — 370 = 33 + 73 + 03. Далее мы приведем поистине впечатляющее самовлюбленное число: 410 + 610 + 710 + 910 + 310 + 010 + 710 + 710 + 710 + 410 = 4679307774.

Несчастливые числа

Вы увидели, что числа могут быть счастливыми, дружественными и т. д. Но кроме них существуют и несчастливые числа. Несчастливым называется любое натуральное число, запись которого в двоичной системе счисления содержит четное число единиц. К ним относятся, например, 12 и 15, так как 12 = 11002 и 15 = 11112. Неизвестно, чем объясняется подобная неприязнь или недоверие к единице, тем не менее эти числа называются именно так. Числа с нечетным числом единиц в двоичной записи называются одиозными.

Числа-палиндромы

Палиндромами называются числа, которые одинаково читаются в обоих направлениях, например, 242. Мы выбрали это число в качестве примера не случайно: если сложить это число с самим собой, получится новое число-палиндром: 242 + 242 = 484. Последнее число можно выразить в другой форме, которая также будет палиндромом: 222.

Наибольшее известное число-палиндром было открыто Харви Дабнером в 1991 году. Оно записывается так: 1011310 + 4661664∙105652 + 1. Если обозначить за 0100 100 идущих подряд нулей, то это число будет выглядеть так:

10565,4661664056511.

ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО ЧИСЕЛ-ПАЛИНДРОМОВ БЕСКОНЕЧНО МНОГО

Рассмотрим число-палиндром 24642. Его можно превратить в другой палиндром, более высокого порядка — для этого достаточно записать ноль после каждой его цифры: 204 060 402. На основе этого числа можно составить новый палиндром, заменив каждый ноль в его записи двумя нулями, и т. д. до бесконечности.

Конгруэнтные числа

Два целых числа называются конгруэнтными по модулю m, если при делении на m они дают одинаковый остаток. Например, 9 и 5 конгруэнтны по модулю 4, так как при делении на 4 оба этих числа дают в остатке 1. Приведем еще несколько примеров: 72 и 47 конгруэнтны по модулю 5 (оба при делении на 5 дают в остатке 2), 19 и 12 конгруэнтны по модулю 7 (оба при делении на 7 дают остаток 5).

Избыточные числа

12 — первое избыточное число, оно меньше суммы своих делителей, не считая самого себя: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Другой пример — 24: сумма его делителей — 1, 2, 3, 4, 6, 8 и 12–36. Избыточность числа 24 равна 36 — (2∙24) = 12. Существует всего 21 избыточное число, меньшее 100: 12, 18, 20, 24, 30, 36… Все они четные.

Определить их можно и другим способом: избыточным является всякое n, для которого выполняется условие σ(n) > 2n, где σ(n) — сумма всех делителей числа n, включая его само. Избыточность этого числа равняется σ(n) — 2n.

Избыточные числа — это числа с достаточным количеством разных простых делителей. Противоположны им недостаточные числа — все простые числа и их степени. Все числа, кратные избыточному числу, также являются избыточными, а любой делитель недостаточного числа сам является недостаточным числом.

Репьюниты

Репьюниты — это числа, запись которых состоит из одних единиц: 1, 11, 111, 1111… Они обозначаются Rn, где n — число единиц в записи числа. Единственные репьюниты, о которых известно, что они простые, — это R2, R19, R23, R317 и R1031. Если Rn простое число, то n также будет простым, но не наоборот: если n простое, это не означает, что Rn будет простым. Рассмотрим любопытное представление числа R38:

R38 = 11∙909 090 909 090 909 091 ∙ 1111111111111111111,

возможное благодаря тому, что 38 = 2∙19. Это же число можно представить и в виде:

10 000 000 000 000 000 001 ∙ 1111111111111111111 = R38.

Очевидно, что репьюниты являются разновидностью чисел-палиндромов.

Праймориалы

Праймориалы — это числа вида p# ± 1, где р# — произведение всех простых чисел, меньших либо равных р. Так, 3# + 1 = 2∙3 + 1 = 7. Следовательно, праймориал 3# + 1 является простым числом. Однако не все праймориалы — простые числа. Например, 13# + 1 = (2∙3∙7∙11∙13) + 1 = 30031 = 59∙509 — этот праймориал не является простым.

Наибольшим известным праймориалом по состоянию на 1993 год было число 24029# + 1, открытое Крисом Колдуэллом и содержащее 10387 цифр. Наибольший известный на сегодняшний день праймориал — это 392113# + 1, запись которого содержит 169 966 цифр. Это число в 2001 году вычислила группа под названием р16.

Пирамидальные числа

Если бы пушечные ядра можно было выложить так, что каждый слой имел бы форму квадрата, то возможное число ядер при такой укладке описывалось бы следующей последовательностью: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140…

Общая формула n-го члена этой последовательности выглядит так:

n∙(n + 1)∙(2n +1)/6.

Другие пирамидальные числа можно определить для укладки, в которой каждый слой имеет форму пятиугольника, шестиугольника и т. д., однако выложить ядра в форме других правильных многоугольников невозможно.

Формула, позволяющая найти число ядер во всех слоях до n-го для, например, пятиугольной пирамиды, выглядит так: 1/2n2∙(n + 1).

Циклические числа

Циклическим называется натуральное n-значное число, которое при умножении на любое другое натуральное число от 1 до n дает число, записанное теми же цифрами, что и исходное число, с циклическим сдвигом. Наиболее известным примером циклического числа является 142857, которое при умножении на 2 дает 285714, при умножении на 3 — 428571. Ниже приведены произведения этого числа на натуральные числа от 1 до 6:

142857∙1 = 142857

142857∙2 = 285714

142857∙3 = 428571

142857∙4 = 571428

142857∙5 = 714285

142857∙6 = 857142.

Еще одно любопытное свойство этого числа заключается в том, что сумма трех первых и трех последних чисел как в прямом, так и в обратном порядке дает 999 999. Быть может, причина в том, что 142857 7 дает 999999?

Кроме того, 142 857 361 = 51571377 — если сложить цифры этого числа в тройках по разрядам, получим: 51 + 571 + 377 = 999, а также 51 + 57 + 13 + 77 = 198, сумма половин которого (01 + 98) дает 99.

Продолговатые числа

Это число, единицы которого можно записать в виде прямоугольника с длинами сторон больше 1. Это определение лучше продемонстрировать на примере. Рассмотрим число 12, которое является продолговатым. Его можно представить в виде прямоугольника двумя разными способами.

Размеры прямоугольников, в виде которых можно представить число 12 (и любое другое продолговатое число), определяются разложением этого числа на пары множителей. Для числа 12 такими парами будут:

3∙4 = 12,

2∙6 = 12.

Его можно представить в виде прямоугольника всего двумя способами. А число 15? Оно раскладывается на два множителя единственным образом: 3∙5 = 15.

Глухие числа

Глухими числами иногда называют натуральные числа, для которых нельзя вычислить точное значение корня. Пример: √2 нельзя представить как целое число, следовательно, 2 является глухим числом. √4, напротив, можно представить как 2, следовательно, это число не является глухим.

Автоморфные числа

Автоморфным называется число, десятичная запись квадрата которого оканчивается цифрами самого этого числа. Опустим тривиальные примеры: 0, 1, 5 и 6 — единственные автоморфные числа, содержащие всего одну цифру. Двузначными автоморфными числами являются 25, квадрат которого равен 625, и 76, квадрат которого равен 5776. Трехзначными автоморфными числами являются 376 и 625.

Эти числа словно сохраняют часть себя при возведении в квадрат. Для каждого разряда существует не более двух автоморфных чисел: одно из них будет оканчиваться на 5, другое — на 6. Но чаще всего для данного числа знаков существует всего одно такое число. Единственное четырехзначное автоморфное число — 9376, единственное пятизначное — 90625.

Триморфные числа

Триморфные числа подобны автоморфным с той лишь разницей, что этим свойством обладают кубы чисел: 43 = 64, 243 = 13824, 2493 = 15438249. Все автоморфные числа также являются триморфными.

Прямоугольные числа

Прямоугольное число — это число вида n∙(n + 1), где n — натуральное. Определение этого числа очень простое: оно равно произведению двух последовательных чисел. N-e прямоугольное число равно удвоенному n-му треугольному числу и на n единиц больше, чем n-е квадратное число. Первые прямоугольные числа таковы: 0, 2, 6,12, 20, 30, 42, 56, 72, 90,110,132,156,182, 210, 240, 272, 306…

Эти числа называются прямоугольными, так как их можно представить в следующем виде.

Десятиугольное число

Это число, которое можно представить в виде десятиугольника.

Десятиугольное число для натурального n определяется формулой: 4n2 — 3n, где n > 0. Первыми десятиугольными числами являются: 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370… В ряду десятиугольных чисел всегда чередуются четные и нечетные числа.

Октаэдральные числа

Аналогично десятиугольным числам октаэдральные числа можно представить в виде октаэдра или двух четырехугольных пирамид, соединенных основаниями. Вычисляются они по следующей формуле:

Оn = (1/3)∙(2n3 + n).

Первыми октаэдральными числами являются: 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489… Сэр Фредерик Поллок в 1850 году предположил, что всякое число можно представить в виде суммы не более семи октаэдральных чисел.

Бипростые числа

Джереми Фаррелл обозначил словом emirp (от английского prime — «простое число» — записанного в обратном порядке) простые числа, которые не являются палиндромами и которые при записи в обратном порядке также дают простое число. Последним «бипростым» годом был 1979-й, следующим будет 3011-й. К сожалению, в обоих случаях одна из цифр повторяется, в то время как больший интерес представляют бипростые числа без повторяющихся цифр. Первыми числами этого ряда являются: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107… Очевидно, что множество бипростых чисел без повторяющихся цифр является конечным, так как в любом числе, содержащем более десяти цифр, одна из них будет повторяться.

193 939 — единственное шестизначное бипростое число, которое является циклическим. Если записать его цифры в виде окружности, то можно выбрать любую из них, пойти по часовой или против часовой стрелки, и результатом всегда будет простое шестизначное число. Четырехзначных, пятизначных и семизначных циклических бипростых чисел не существует.

Странные числа

Это числа, которые меньше суммы своих делителей, при этом никакая частичная сумма делителей не будет равна этому числу. Странными числами, не превышающими 10000, являются: 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912 и 9272. Все они четные. Математик Пол Эрдёш в свое время предложил приз в 10 долларов тому, кто найдет первое нечетное странное число, и 25 долларов за доказательство того, что таких чисел не существует. Сегодня неизвестно, существуют ли нечетные странные числа, однако если хотя бы одно такое число существует, оно больше 232 < 4∙109.

Зеркальные числа

Два натуральных числа называются зеркальными, если их произведение равно произведению чисел, записанных в обратном порядке. Например, 23∙64 = 46∙32.