Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Трансфинитные числа

Бесконечность, которая обозначается символом, напоминающим перевернутую восьмерку (oo), доставила математикам немало хлопот. В алгебре она появлялась всякий раз при делении различных величин на 0. Но как работать с бесконечностью? В течение многих веков математики предпочитали игнорировать ее, поскольку бесконечность считалась не числом, а представлением всех чисел.

Все изменилось благодаря гениальному Георгу Кантору. Этот немецкий математик, родившийся в Санкт-Петербурге в 1845 году, предположил, что бесконечность можно использовать наравне с другими числами и совершать с ней действия точно так же, как и с другими числовыми величинами. Кроме того, он доказал, что существуют различные виды бесконечности, и одни из них больше других. Одна бесконечность больше другой? Да разве это возможно?! Пренебрежение математиков по отношению к бесконечности и ее абстрактной и двусмысленной природе Кантор объяснял тем, что понятие «бесконечность» применялось в одинаковой степени к любым множествам, которые не являлись конечными, в то время как некоторые из них были в определенной степени измеримы и имели сопоставимые размеры.

Кантор нашел способ измерить бесконечные множества, сравнив их размеры и определив, равны они или же одно из них больше другого. Этот способ лег в основу достаточно строгой теории — теории трансфинитных чисел. Взяв за основу множество натуральных чисел, Кантор сопоставил ему множество четных чисел и показал, что натуральных чисел столько же, сколько четных.

Для каждого целого числа существует четное число, в два раза большее его. Так Кантор пришел к любопытному выводу: при рассмотрении бесконечного множества вещей целое не больше, чем его часть. Например, существует столько же квадратных чисел, сколько и натуральных, столько же кубов, чисел, делящихся на 10 или на 1000, сколько и натуральных. В результате Кантор понял, что не существует бесконечного множества, меньшего, чем множество натуральных чисел, и обозначил число элементов этого множества 0, или алеф-нуль (алеф — первая буква еврейского алфавита). Чтобы провести различие между открытыми им и конечными числами, Кантор назвал новые числа трансфинитными.

Георг Кантор с женой. Фотография 1880 года. Этот подлинный гений из мира математики разработал теорию трансфинитных чисел, укротив непокорную бесконечность.

Кантор понял, что установить соответствие между натуральными и вещественными числами невозможно, следовательно, эти бесконечности не равны, и бесконечное множество вещественных чисел больше, чем бесконечное множество натуральных чисел. Так одна бесконечность оказалась больше другой. Первые трансфинитные числа, введенные Кантором, описывали мощность определенных множеств и обозначались особыми символами:

мощность множества вещественных чисел (): с;

мощность множества натуральных чисел, или алеф-нуль: (): 0;

мощность множества, превосходящего 0:1

Далее, использовав аксиомы Цермело-Френкеля, можно убедиться, что три вышеописанных числа удовлетворяют соотношению 0 < 1 < c. Континуум «гипотеза (гипотеза о мощности множества вещественных чисел) гласит, что с = 1.