Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Числа, у которых есть имя и даже фамилия

Числа Капрекара

Число Капрекара — это число, обладающее следующим свойством: если возвести его в квадрат, взять определенное число цифр справа и сложить их с числом, образованным цифрами, оставшимися слева, то получится исходное число. Пример: 2972 = 88209, сумма его частей равна 88 + 209 = 297. Таким образом, 297 является числом Капрекара.

Первыми числами Капрекара являются 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777. Многие последовательные числа Капрекара при сложении, как правило, дают круглые числа. Пример: 11 + 9 = 10; 45 + 55 = 100; 297 + 703 = 1000; 4950 + 5050 = 10000 и т. д.

Число 142857 является числом Капрекара: 142 8572 = 20408122449. Разделив это число на две части и сложив их, получим: 20408 + 122449 = 142857. Наименьшим 10-значным числом Капрекара является

1111111111.

Эти яркие и эффектные числа были открыты индийским математиком Даттарайя Рамчандра Капрекаром (1905–1986).

Числа Каталана

Числа Каталана, названные в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана, описываются формулой:

Числами Каталана являются 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012. Этот, казалось бы, бессмысленный ряд оказался полезным при решении многих задач. Например, сколькими способами можно разделить правильный п-угольник на (п — 2) треугольника, если при этом все возможные повороты треугольников будут учитываться отдельно? Ответом будут числа Каталана.

Эжен Шарль Каталан (1814–1894) составил числовой ряд, впоследствии названный его именем, для решения задач комбинаторики.

Или сколькими способами можно расставить скобки в последовательности из n + 1 буквы так, чтобы внутри каждой пары скобок находилось две буквы? Для последовательности ab возможен один способ — (ab), для последовательности abc — два способа: (ab)c и а(Ьс), для последовательности abed — пять способов и т. д. И вновь ответом будут числа Каталана.

Числа Софи Жермен

Числа Софи Жермен, названные в честь их первооткрывателя, французской женщины-математика Софи Жермен, являются простыми числами особого вида: если умножить их на 2 и прибавить к ним 1, результатом вновь будет простое число. На языке алгебры р является простым числом Софи Жермен, если 2р + 1 также является простым. Наименьшее простое число Софи Жермен — 2, так как 2∙2 + + 1 = 5 — простое число. Следующим таким числом является 3, так как 2∙3 + 1 = 7. Довольно долго наибольшим известным числом Софи Жермен было 9402702309 x 103000 + 1. В марте 2010 года было найдено новое рекордное простое число Софи Жермен:

183027∙2265440 + 1.

Его запись содержит 79911 цифр. Как и для всякого числа Софи Жермен, при умножении на 2 и сложении результата с единицей мы получим новое простое число:

183027∙2265441 +1.

Предполагается (но не доказано), что простых чисел Софи Жермен, равно как и самих простых чисел, бесконечно много.

Числа Лишрел

Число Лишрел — это натуральное число, которое нельзя превратить в палиндром путем сложения исходного числа с его «перевернутой» копией (числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке). Этот процесс называется 196-алгоритмом, так как 196 — первое натуральное число, обладающее этим свойством.

Как правило, число-палиндром получается с помощью простых правил арифметики: к данному числу прибавляют число, записанное теми же цифрами, что и исходное, но в обратном порядке. Это действие повторяется до тех пор, пока не будет получено число-палиндром. Пример:

56 + 65 = 121 — 1 шаг.

139 + 931 = 1070; 1070 + 0701 = 1771 — два шага.

Однако этот алгоритм работает не всегда. Первое натуральное число, для которого он не выполняется — это число 196. Числа, которые нельзя свести к палиндрому по такому алгоритму, получили название чисел Лишрел благодаря математику Уэйду Ванландигэму (Лишрел — примерная анаграмма имени его подруги Шерил). Сегодня единственное известное число Лиршел — 196, но математики полагают, что этим свойством обладают и другие числа.

Числа Фибоначчи

Эти числа придумал Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи (что означает «сын Боначчи»). Числа Фибоначчи обозначаются F. Первыми числами ряда Фибоначчи являются 1,1, 2, 3, 5, 8,13… — каждый член этой последовательности, за исключением второй единицы, равен сумме двух предыдущих.

Расскажем подробнее об этой числовой последовательности, самой известной в математике. Она впервые упоминается в «Книге абака» Фибоначчи (ок. 1175 — ок. 1250) в связи с задачей о размножении кроликов. Фибоначчи задался вопросом: сколько пар кроликов родится за один год, если в начале года у нас есть всего одна пара кроликов и если у этой пары каждый месяц рождается пара кроликов, способная производить потомство начиная со второго месяца? Если предположить, что кролики размножаются беспрерывно, то их число в конце каждого месяца будет описываться следующей любопытной последовательностью:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Графически эту задачу можно представить так:

Восьмиконечная звезда означает пару, способную производить потомство, круг — пару, не способную воспроизводить потомство. Обратите внимание, что числа в правом столбце образуют последовательность Фибоначчи — это название придумал Эдуард Люка в 1877 году.

Благодаря своим свойствам ряд Фибоначчи является самым изучаемым числовым рядом в математике. Основное из этих свойств, по нашему мнению, связано с золотым числом, или золотым сечением (Ф). Чтобы продемонстрировать это свойство, найдем отношение каждого числа Фибоначчи к предыдущему:

F2/F1 = 1/1 = 1

F3/F2 = 2/1 = 2

F4/F3 = 3/2 = 1,5

F5/F4 = 5/3 = 1,6666

F6/F5 = 8/5 = 1,6

F7/F6 = 13/8 = 1,625

F8/F7 = 21/13 = 1,61538

Это отношение постепенно приближается к золотому числу (1,61803). И действительно, золотое число является пределом описанной нами последовательности:

lim n->ooFn/Fn-1 = Ф

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ

Треугольник Паскаля — это треугольник, который, несмотря на свое название, не был открыт Паскалем, но этот французский мыслитель сделал его известным в Европе. Известно, что в Древнем Китае Чжу Шицзе использовал этот треугольник для извлечения квадратных и кубических корней. Также предполагается, что этот треугольник был известен персидскому поэту и математику XI века Омару Хайяму, автору знаменитых рубаи — он утверждал, что ему был известен метод извлечения квадратных и кубических корней. Однако мы упоминаем о треугольнике Паскаля из-за его связи с числами Фибоначчи. Если провести в треугольнике Паскаля поперечные линии так, как показано на следующем рисунке, то суммы чисел в этих рядах будут числами Фибоначчи.

Числа (или последовательность) трибоначчи

Так называются числа последовательности, аналогичной ряду Фибоначчи, с той лишь разницей, что числа складываются не попарно, а по 3, то есть:

А(1) = 1

А(2) = 1

А(3) = 2

А(4) = 4

А(5) = 7.

Рекуррентная формула общего члена этой последовательности выглядит так: А(n) = А(n — 3) + А(n — 2) + А(n — 1) для n > 3.

Первые члены этой последовательности таковы: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24…

Числа Мерсенна

Числами Мерсенна (обозначаются буквой М) называются числа, вычисленные по формуле Mp = 2Р — 1, где р — натуральное. Эти числа придумал французский математик Марен Мерсенн (1588–1648).

Если р — составное число, то Мp = 2Р — 1 также будет составным.

Числа Мерсенна крайне полезны при поисках очень больших простых чисел: числа, найденные по этой формуле для простых р, скорее всего, также будут простыми. Однако это правило выполняется не всегда. Сегодня известно сравнительно немного простых чисел Мерсенна. Три наибольших простых числа, известных на данный момент, являются числами Мерсенна:

243112609 — 1 — это число содержит 12978189 цифр;

242643801 —1 — это число содержит 12837064 цифры;

237156667 —1 — это число содержит 11185272 цифры.

Числа Улама

Эти числа входят в последовательность 1, 2, 3, 4, 6, 8,11, 13, 16,18, 26, 28, 36, 38, 47…, определенную польским математиком Станиславом Уламом. Начиная a1 = 1, а2 = 2, члены этого ряда определяются как наименьшие числа, которые можно представить единственным образом в виде суммы двух предыдущих членов. Так,

3 = 1 + 2

4 = 1 + 3

6 = 4 + 2.

Число 5 не является членом этой последовательности, так как 5 = 2 + 3 = 1 + 4, то есть его можно выразить двумя способами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО 67-Е ЧИСЛО МЕРСЕННА (267 — 1), КОТОРОЕ СЧИТАЛОСЬ ПРОСТЫМ, НА САМОМ ДЕЛЕ ИМ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ

Случай, о котором мы расскажем, произошел в октябре 1903 года на съезде Американского математического общества в Нью-Йорке. Никому не известный математик Фрэнк Коул представил работу под названием «О разложении больших чисел на множители». Когда президент общества попросил Коула рассказать о своей работе, тот поднялся на кафедру, подошел к доске и, не говоря ни слова, начал вычислять значение числа 2 в 67-й степени. Завершив необходимые действия, он вычел из полученного числа 1. По-прежнему не говоря ни слова, он перешел к пустой части доски и перемножил два следующих числа:

193707721∙761838257287.

Результаты вычислений совпали. Впервые за всю историю общества присутствующие бурно рукоплескали автору представленной работы. Коул вернулся на место, по-прежнему не сказав ни слова. Объяснений не потребовалось.

Числа Перрена

Это числа, принадлежащие последовательности, которая описывается следующей рекуррентной формулой:

Р(n) = Р(n — 2) + Р(n — 3) при n > 2.

Так, первыми числами этой последовательности являются

Р(0) = 3, Р(1) = 0, Р(2) = 2, Р(3) = 3… => Р(n) = Р(n — 2) + Р(n — 3),

в виде числового ряда они записываются так: 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12,17, 22… Эти числа получили свое название в честь французского математика Перрена, который описал их в 1899 году.

Трансцендентные числа Лиувилля

Трансцендентные числа Лиувилля — это числа вида

Σoon=1 (1/10n!)= 1/10 + 1/102 + 1/106 + 1/1024 + …

В традиционном виде они записываются так:

10-1! + 10-2! + 10-3! + 10-4! +

в виде десятичной дроби:

0,110001000000000000000001000…

В десятичной записи этого числа на всех позициях содержатся нули, за исключением тех, что совпадают с n! (n факториал), где n — последовательные натуральные числа. Сам французский математик Жозеф Лиувилль в 1844 году доказал, что трансцендентные числа можно составить описанным выше способом. Приведенное нами число является простейшим из подобных чисел.

Именно открытие трансцендентных чисел позволило доказать невозможность решения различных геометрических задач древности на построение с помощью циркуля и линейки, в частности задачи о квадратуре круга, где трансцендентность числа π не позволяет найти какое-либо решение.

Числа Ферма

Эти числа, получившие свое название в честь французского математика Пьера Ферма, являются целыми положительными числами вида:

Fn = 22n +1,

где n — целое неотрицательное число. Первые четыре числа Ферма — это:

F0 = 21 + 1 = 3

F1 = 22 + 1 = 5

f2 = 24 + 1 = 17

F3 = 28 + 1 = 257

…

Эти числа возрастают экспоненциально: F8 = 2256 + 1 содержит 78 цифр.