Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Числа, любопытные с точки зрения арифметики

Далее мы в нескольких словах расскажем о числах, вызывающих интерес с точки зрения арифметики.

√2

Квадратный корень из 2 — это положительное вещественное число, которое при умножении само на себя дает 2. Его приблизительное значение равно 1,41421356237309504880. Возможно, это первое иррациональное число, известное человечеству. По легенде, Гиппаса из Метапонта пифагорейцы сбросили в море за то, что он раскрыл тайну этого числа непосвященным. Геометрически это число можно представить как диагональ квадрата, длина сторон которого равна единице.

√5

Квадратный корень из 5 можно выразить с помощью следующей элегантной формулы:

2

Число 2 обладает множеством математических свойств. Это наименьшее простое число и одновременно единственное простое четное число. Это первое простое число Софи Жермен, первое число-факториал и первое число Люка. Это также простое число Эйнштейна без мнимой части и с действительной частью вида 3n — 1. Это третье число Фибоначчи. Число 2 — основание простейшей системы счисления.

9

Число 9 обладает любопытным свойством: если из любого числа, содержащего больше двух цифр, вычесть сумму его цифр, то полученное число будет делиться на 9. Рассмотрим в качестве примера число 8754.

Сумма его цифр равна 8 + 7 + 5 + 4 = 24; 8754 — 24 = 8730;

8730 кратно 9, так как 8730/9 = 970.

17

Это число обладает важным свойством: оно равно сумме цифр его куба: 173 = 4913;

4 + 9 + 1 + 3 = 17.

19

Число 19 — простое число, особенность которого состоит в том, что оно равно сумме первых степеней 10 и 9 и разности квадратов 10 и 9. Первое равенство очевидно, второе требует проверки: 102 — 92 = 100 — 81 = 19.

22

Число 22 — это число-палиндром, квадрат которого также является палиндромом:

222 = 484.

37

При умножении на числа, кратные 3, это число дает следующие результаты:

37∙3 = 111

37∙6 = 222

37∙9 = 333

37∙12 = 444

…

37∙27 = 999.

Число 37, умноженное на сумму своих цифр, равно сумме кубов его цифр. Эту запутанную фразу проще понять, записав: (3 + 7)∙37 = З3 + 73 Еще одно любопытное свойство: сумма квадратов его цифр минус произведение его цифр равна 37:(З2 + 72) — (3∙7) = 37. Рассмотрим теперь трехзначное число, кратное 37, например 37∙7 = 259. Изменим порядок его цифр так, чтобы последняя цифра оказалась на первом месте, и получим 925. Повторив эту же операцию с последней цифрой нового числа, получим 592. Оба этих числа делятся на 37 (еще одно число, которое обладает этим свойством — это 185, так как 518 и 851 также кратны 37).

69

Число 69, возведенное в квадрат (692) равно 4761, возведенное в куб (693) — 328509. Эти два числа содержат все цифры от 0 до 9.

100

100 — составное число: 22∙52 = 102. Это число представимо в виде суммы четырех кубов, и его можно назвать кубическим тетрактисом: 100 = 13 + 23 + З3 + 43. Кроме того, это десятое квадратное число и седьмой член последовательности Боде, обозначающее расстояние от Сатурна до Солнца (в действительности это расстояние равно 95,5 астрономической единицы).

Иллюстрация из «Уранографии» Иоганна Элерта Боде (1747–1826) — астронома, в честь которого названа последовательность чисел, упрощающих вычисление расстояний между планетами и Солнцем. Первые семь чисел этой последовательности таковы: 4, 7,10,16, 28, 52 и 100.

199

Число 199 имеет несколько интересных свойств: это простое число, обратимое простое число (если повернуть его запись на 180°, получится число 661, которое также будет простым), кроме того, числа, полученные перестановкой его цифр (199, 919 и 991) также являются простыми.

216

Это число равно объему куба, длина стороны которого равна 6: 63 = 216. Это также наименьшее число-куб, которое можно представить как сумму трех последовательных кубов: 216 = 63 = З3 + 43 + 53. Оно также равно сумме двух простых чисел: 216 = 107 + 109.

337

Это наибольшее простое число, для которого все числа, образованные перестановкой его цифр, также являются простыми: 337, 373 и 733. В нашей системе счисления по основанию 10 этим свойством обладают только следующие числа: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 37, 79, ИЗ, 199, 337. Число И также могло бы обладать этим свойством, но так как все его цифры одинаковы, оно называется репьюнитом (это понятие мы подробно объясним в главе 3).

365

Число 365 обладает следующим арифметическим свойством: 365 = (10∙10) + (11∙11) + (12∙12), то есть оно равно сумме квадратов трех последовательных чисел начиная с 10: 102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365. Кроме того, оно равно сумме квадратов двух следующих чисел, 13 и 14: 132 + 142 = 169 + 196 = 365.

648

Это наименьшее число, которое можно представить в виде aba двумя разными способами, а именно: 3∙63 = 2∙182. Чисел, обладающих этим свойством, совсем немного. Приведем некоторые из них:

648 = 3∙63 = 2∙182

2048 = 8∙28 = 2∙322

4608 = 9∙29 = 2∙482

5184 = 4∙64 = 3∙123

41472 = 3∙243 = 2∙1442

52488 = 8∙З8 = 2∙1622

472392 = 3∙543 = 2∙4862

500000 = 5∙105 = 2∙5002

524288 = 8∙48 = 2∙5122

2654208 = 3∙963 = 2∙11522

3125000 = 8∙58 = 2∙12502

4718592 = 18∙218 = 2∙15362

10125000 = 3∙1503 = 2∙22502

13436928 = 8∙68 = 2∙25922

21233664 = 4∙484 = 3∙1923

30233088 = 3∙2163 = 2∙38882

46118408 = 8∙78 = 2∙48022

…

729

Это число равняется 93 и является вторым числом, представимым в виде суммы трех кубов: 93 = 13 + 63 + 83 Так как 63 = 33 + 43 + 53 (сумма трех кубов), 729, или 93, также можно выразить как сумму пяти кубов. Кроме того, 729 = 36 следовательно, в системе счисления по основанию 3 оно записывается как 1000 000.

952

Это число можно представить интересным способом: 952 = 93 + 53 + 23 + 9∙5∙2.

998

Это число является знаменателем необычной дроби:

1/998 = 0,001002004008016032064128256513026052104208416833667334669… — десятичной дроби, содержащей последовательность всех степеней двойки, которые затем начинают накладываться друг на друга, и закономерность нарушается:

0,001

0,000002

0,000000004

0,000000000008

0,000000000000016

0,000000000000000032

0,000000000000000000064

0,000000000000000000000128

0,000000000000000000000000256

0,000000000000000000000000000512

0,000000000000000000000000000001024

0,000000000000000000000000000000002048

…

0,001002004008016032064128256513026052…

1001

Одним из любопытных свойств числа 1001 является то, что оно делится на 7, 11 и 13 — три последовательных простых числа, произведение которых равно 1001. Однако интерес представляет не само равенство 1001 = 7∙11∙13 — в нем нет ничего удивительного. Любопытно другое: если умножить это число на любое трехзначное число, то результатом будет это же трехзначное число, записанное два раза подряд, например 873∙1001 = 873873, 207∙1001 = 207207.

Это свойство становится очевидным, если мы представим записанное выше произведение так: 873∙1001 = 873∙1000 + 873 = 873000 + 873.

1089

Если мы умножим 1089 на 9, получим 9801 — исходное число, цифры которого будут записаны в обратном порядке. Этим свойством также обладают числа 10989, 109989, 1099989 и т. д. — достаточно, чтобы девятки находились перед первой восьмеркой в записи этого числа. С другой стороны, дробь 1/1089 = = 0,000918273645546372819100091… является периодической. Наконец, если записать цифры любого числа в обратном порядке, вычесть это число из исходного, а затем прибавить к полученному числу это же число, записанное в обратном порядке, то результатом всегда будет 1089. Рассмотрим в качестве примера число 623: 623 – 326 = 297, 297 + 792 = 1089.

1233

Это число примечательно тем, что равно 122 + 332, то есть сумме квадратов чисел, записанных двумя его первыми и двумя последними цифрами. Другим числом, которое обладает этим свойством, является 8833 = 882 + 332.

1634

Это число интересно тем, что равно сумме своих цифр, возведенных в четвертую степень: 14 + 64 + 34 + 44. Другие четырехзначные числа, обладающие этим же свойством, — 8208 и 9474.

1729

Это число знаменито благодаря анекдоту, приведенному в книге английского математика Годфри Харолда Харди «Апология математика». Как-то раз Харди навещал в больнице своего подопечного, индийского математика Рамануджана. Чтобы поддержать разговор, Харди упомянул, что приехал на такси со «скучным» номером 1729, на что Рамануджан немедленно ответил: «Харди, ну как же, Харди, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!»: 123 + 13 и 103 + 93.

Годфри Харолд Харди (1877–1947), английский математик, размышлявший об эстетической красоте математики, который, помимо прочего, сделал знаменитым число 1729.

3333

Если возвести это число в квадрат, то есть вычислить 33332, результатом будет 11108889. Сложив две «половины» этого числа, записанные по отдельности, получим 1110 + 8889 = 9999. Этим свойством также обладает число 6666, так как 66662 равно 44435556, а сумма двух его «половин», 4443 и 5556, равна 9999.

5040

Это число равно 7 факториал: 7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7. Оно также равняется произведению 7∙8∙9∙10. Таким образом, это число примечательно тем, что его можно представить в виде произведения последовательных натуральных чисел двумя разными способами.

6174

Это число — так называемая постоянная Капрекара. Его особенность заключается в следующем. Возьмем произвольное четырехзначное число, упорядочим его цифры в порядке возрастания и в порядке убывания, после чего найдем разность полученных чисел. Затем повторим аналогичные действия с результатом. Результатом всегда будет число 6174, которое затем будет воспроизводить само себя. Рассмотрим пример с числом 3871: 8731–1378 = 7353; 7533–3357 = 4176, 7641–1467 = 6174. В этом случае потребовалось всего три этапа. Для других чисел требуется больше этапов, но их результатом всегда будет постоянная Капрекара. 6174 также является одним из так называемых чисел харшад, так как делится на сумму своих цифр:

6174/(6 + 1 + 7 + 4) = 6174/18 = 343.

10 101

Число 10101 равно произведению четырех простых чисел: 3∙7∙13∙37. Любое двузначное число при умножении на 10101 дает само себя, записанное три раза подряд. Пример: 73∙10101 = 737373, 21∙10101 = 212121. Причина этого становится понятной, если мы представим записанное выше произведение следующим образом:

73∙10∙101 = 73∙(10 000 + 100 + 1) = 730 000 + 7300 + 73.

1234567,87654321

Это число, которое представляет собой записанные последовательно цифры от 1 до 8 в порядке возрастания, которые затем, после второго десятичного знака, записаны в обратном порядке, является результатом интересного произведения:

1111,111∙111,111.

4729 494

Это число является коэффициентом уравнения Джона Пелла, которое предположительно позволяет решить задачу Аристотеля о стаде, изложенную им в книге «Исчисление песчинок». Задача звучит так: «Если ты старателен и умен, о чужеземец, то сочтешь число голов скота в стаде Солнца». Далее приводится ряд неоднозначных условий, которые можно вкратце изложить так: в стаде бога Солнца было некоторое число белых, черных, крапчатых и рыжих быков и коров. Число белых быков равно половине и третьей части черных и рыжих быков; число черных быков равно четверти и пятой части крапчатых и рыжих быков; число крапчатых быков равно шестой и седьмой части белых и рыжих; число белых коров равно трети и четверти общего числа черных быков и коров; число черных коров равно четверти и пятой части общего числа крапчатых быков и коров; число крапчатых коров равно шестой и седьмой части общего числа рыжих быков и коров; число рыжих коров равно шестой и седьмой части белых быков и коров; общее число белых и черных быков является квадратом, общее число рыжих и крапчатых быков является треугольным числом. Рассмотрев эту формулировку задачи, Джон Пелл получил следующее уравнение: u2 — 4729494∙v2 = 1. Этим и объясняется необычность этого числа.