Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

О коварстве географических карт

Я хочу вернуться к толкованию вероятности и продемонстрировать эквивалентность ее колмогоровского и частотного определений. Мы раскроем загадку одного закона подлости, который не вошел в классические книги по мерфологии, но хорошо известен туристам, геологам и всем, кто пользуется топографическими картами:

Раскроем карту, чтобы найти на ней какой-нибудь объект. Предположим, нас одинаково часто интересуют объекты, расположенные на всех участках карты. Причем не объекты сами по себе как точки. Весь смысл использования карты состоит в обозрении окрестностей объекта, некой конечной площади. Пусть нам достаточно будет некоторой малой доли α от площади карты S, чтобы понять, как попасть туда, куда нужно. Если то, что мы ищем, окажется недалеко от сгиба или края карты, скажем ближе какого-то критического расстояния d, мы можем счесть, что закон туриста сработал. Доля таких пограничных площадей в общей площади карты даст нам вероятность испытать этот закон подлости на себе. Вот как выглядят неприятные участки карты при α = 0,5 % и всего одном сгибе (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Серым выделены «нехорошие» участки. Отдельно показан участок с полупроцентной площадью для карты размерами 40×50 см, она имеет размер, слегка превышающий 3 см

Для окрестности в форме квадратика  Неприятные полоски будут иметь площадь  Четыре полосы: две вертикальные и две горизонтальные — расположатся у края; любой дополнительный изгиб, горизонтальный или вертикальный, добавит еще одну полоску. А теперь воспользуемся свойством аддитивности мер и вычислим меру объединения всех полосок как сумму их площадей, за вычетом площади пересечений. При этом следует заметить, что пересекающиеся полоски формируют квадратики площадью d² = αS.

Сложив карту так, чтобы получилось n горизонтальных и m вертикальных изгибов, мы получим суммарную площадь неприятной зоны, равную  Разделив ее на площадь всей карты S, получим неприятную долю общей площади, выраженную только через количество сгибов и α. Отсюда получаем вероятность оказаться в этой доле при случайном выборе объекта:

На рисунке 2.4 заливкой показаны области, в которых эта доля превышает 50 % для различных значений α. Например, приняв α = 0,75 % и сложив карту вдвое в одном направлении (одна складка) и вчетверо — в другом (три складки), мы найдем, что вероятность попасть в неудобное место превысит 50 %.

Рис. 2.4. Зоны, в которых вероятность оказаться на сгибе карты или на ее краю, превышают 50 %. Числами отмечены значения α

Чаще всего карты имеют по три вертикальные и три горизонтальные складки, что дает вероятность выполнения закона подлости около 60 % при весьма незначительном α = 0,5 %.