Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

О марковских цепях и пессимистах с оптимистами

В рассмотренных моделях мы получали пуассоновский поток смены настроений, генерируя события с помощью его же. В этом можно усмотреть подтасовку: пуассоновский случайный процесс оказался изначально «вшит» в модель. Насколько при этом универсален результат? Можно ли получить его как-нибудь совсем иначе?

Житейский опыт — штука плохо формализуемая, его можно подогнать под различные математические инструменты, внося не только упрощающие допущения, но и спекуляции. В науке такой подход недопустим, но в путешествии по методам теории случайных процессов мы можем позволить себе поиграть с ними, чтобы познакомиться получше.

Выше для объяснения полос в жизни мы учитывали память, то есть вклад предыдущих состояний в текущее. Но можно получить характерное «полосатое» поведение и полностью исключив влияние прошлого.

Для этого полезны объекты, называемые цепями Маркова.

Последовательность дискретных случайных величин x₁,x₂,… называется цепью Маркова, если распределение величины x_n+1 зависит только от распределения величины x_n, но не от предыдущих величин x₁,…x_n. Иными словами, будущее зависит от настоящего, но не от прошлого. Область значений наших величин x_n называется пространством состояний цепи. Переходы между состояниями определяются числами p_ij — вероятностями перейти из состояния с номером i в состояние с номером j. Мы ограничимся случаем, когда эти вероятности не зависят от номера n (тогда цепь Маркова называется однородной). Числа p_ij образуют так называемую матрицу переходов, о которой мы поговорим позже.

Такие цепи удобно представлять в виде взвешенных графов[25]. Вершинами графа оказываются состояния цепи, а ребрами — возможные переходы между ними. Например, однородная марковская цепь, описывающая динамику настроения, может быть представлена в следующем виде. Пусть для простоты у человека есть всего два состояния (радостное и печальное) и он каждый день может оказаться либо в одном, либо в другом. При этом вероятность остаться на следующий день в прежнем состоянии равна 0,75, а вероятность поменять его — 0,25 (рис. 6.11).

Рис. 6.11. Цепь Маркова с двумя состояниями («радостное» и «печальное»). Стрелки обозначают переходы и их вероятности. В нашем симметричном случае вероятность остаться в существующем настроении превышает вероятность его смены, но не зависит от самого настроения. Переходы случаются раз в день

Почему мы выбрали такие вероятности? Наблюдая за динамикой настроения и мировосприятия, можно заметить, что человеку свойственно «залипать» в определенном состоянии духа. Если дела идут в целом хорошо, то и дурная новость может быть воспринята с оптимизмом. И напротив, меланхолическое настроение, однажды поглотив человека, способно испортить даже радостное известие. С математической точки зрения это значит, что вероятность остаться в текущем настроении выше вероятности его изменить.

Наша цепь способна генерировать последовательности состояний, и, конечно, в ней появятся полосы житейской зебры. Самое интересное — выяснить, какому распределению будут подчиняться длительности этих полос. Для нашей более чем простой модели можно получить точный ответ — это геометрическое распределение, описывающее вероятность наблюдать заданное количество испытаний до первого «успеха».

Геометрическое распределение — дискретный аналог экспоненциального в том смысле, что ему подчиняются округленные значения экспоненциально распределенной случайной величины. Существует связь между параметром геометрического распределения и интенсивностью соответствующего экспоненциального. Так мы опять получаем пуассоновский поток смен настроения, и для описанной нами марковской цепи его интенсивность равна λ = —ln(0,75) ≈ 2/7 (рис. 6.12).

Рис. 6.12. Гистограмма для длительностей периодов одинакового настроения в последовательности ежедневных смен состояний, сгенерированной симметричной цепью Маркова, и функция вероятности геометрического распределения с параметром, равным вероятности перехода между состояниями. Последовательность имеет длительность в 10 лет

Если мы нарушим симметрию цепи, то сможем описать «оптимиста» либо «пессимиста», охотнее «залипающего» в том или ином настроении. Распределение длительностей полос отклонится от геометрического, но при этом большая часть полос будет короткой и какой-либо выделенной периодичности мы не отметим (рис. 6.13).

Рис. 6.13. Гистограмма для длительностей периодов постоянного настроения в последовательности, сгенерированной асимметричной цепью Маркова. Ступенчатая линия показывает геометрическое распределение из предыдущего примера

Цепи Маркова — мощный инструмент анализа случайных процессов, в которых кроется некий алгоритм или сценарий. Они дают нам своеобразный взгляд на процессы, привычно относимые к циклическим. Например, известная максима «история человечества ходит по кругу» часто трактуется так: в истории существуют некие циклы или даже периодичности. Доводится слышать, например, о том, что начало века сулит потрясения и войны. Рискуя уйти не в свою тему, возьму на себя смелость предположить, что на самом деле имеет смысл говорить не о буквальных циклах, а о более или менее устойчивых сценариях — закономерных цепочках, которые можно описать цепью Маркова. Среди таких цепей есть класс циклических, которые в самом деле способны создавать повторяющиеся последовательности. Однако настоящей детерминистической периодичности в их поведении нет. Случайно возникая в разные исторические периоды и в разных контекстах, такие циклы похожи друг на друга и могут создать ощущение исторического «дежавю». Изучать и описывать их полезно, но ожидать строгого календарного плана, пожалуй, не стоит.