Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

О методе пристального всматривания

Немного отвлекусь от основной темы и расскажу о том, как именно мне удалось перейти от рекуррентного соотношения к конечной форме распределения Стирлинга. Эта история может быть поучительной, особенно в свете нашей основной темы — законов подлости.

Повторюсь, что я не взаправдашний математик, а физик и вулканолог, использующий математику как инструмент. Но я этот свой инструмент очень люблю. Он красивый, изящный и мощный. Владение им делает меня счастливым и даже немного гордым от причастности к великим людям, создававшим его на протяжении столетий. Но при всем при том математика — инструмент, требующий особого к себе отношения. Она подобна породистой лошади или дорогому автомобилю, а то и легкомоторному самолету. Без умения, особого подхода и, если хотите, уважения к себе они испортятся и гордость от владения ими сменится горечью утраты. Конечно, я утрирую, но что-то в этом есть. Я имею в виду, что с математикой можно играть, а не только использовать в серьезной работе. Но в обоих случаях нужно как можно дольше оставаться настоящим математиком и ценить драгоценную точность и полноту результатов.

Я в принципе мог бы и остановиться, получив экспериментальную гистограмму, отражающую распределение числа последовательных дел, которые можно завершить в ограниченный срок. Это же скорее развлекательная книга, а не учебник и не научная статья. Но, поверьте, я просто не смог этого сделать: отсутствие точного решения не давало мне покоя. Я готов был вообще выбросить этот эпизод из книги — и не потому, что не верил в точность результата, а потому что не считал это каким-то результатом. Я исписал множество листов, пытаясь вывести точную формулу, но ничего не выходило! Повторю, я не настоящий математик, у которого есть последовательное базовое математическое образование. Мне недоставало не инструментария или методик — я легко отыскивал их в учебниках и статьях. Но они заводили меня в дебри и тупики. Мне не хватало интуиции математика — той самой штуки, которая либо возникает от многих лет непрестанной работы, постоянного поиска внутренних связей и закономерностей, либо дается от рождения, примерами чего могут быть такие потрясающие люди, как Сриниваса Рамануджан Айенгор или Карл Фридрих Гаусс. Но большинство великих, замечательных и просто видных математиков были вооружены не врожденным талантом, а любовью к этой науке, предельной честностью перед собой и, главное, невероятным трудолюбием, благодаря которым их математическая интуиция превращалась в самую настоящую магию! И я убежден, что она доступна всем, но требует непрестанных упражнений: как говорили в моем родном Новосибирском государственном университете, «приседания мозгами». А силу для этих упражнений может дать только любовь. Ни чувство долга, ни страх провалить сессию, ни осознание полезности математики как инструмента не станут достаточной мотивацией для такой удивительно кропотливой, незаметной и чаще всего непрактичной работы.

Задачка о проклятии режиссера вряд ли спасет чьи-то жизни или принесет мне славу и много денег, но без точного результата я чувствовал себя не вправе говорить о ней, поэтому я вновь и вновь выписывал столбцы известных мне точных значений функции вероятности (для k = 1, 2 и n), дополняя эмпирическими цифрами, приведенными к рациональному виду (мне быстро стало ясно, что нормировкой искомой функции будет n!), пытаясь то угадать закономерность, то получить ее, подходя так или эдак. В конце концов решение пришло ко мне так же, как решения больших и чудовищно сложных задач приходят к настоящим математикам. Итогом моего пристального всматривания и вживания в ряды чисел стала искра интуиции. Блуждая уже практически бесцельно по страницам справочника комбинаторики, я наткнулся на числа Стирлинга, о существовании которых до этого и не подозревал. Они происходят из совсем другой задачи и поначалу вызвали просто любопытство. Хорошо, что в справочнике приводились некоторые примеры рядов этих чисел. Мой взгляд выхватил знакомые цифры, и после недолгих проверок мне уже было ясно: мое распределение выражается через числа Стирлинга настолько просто и лаконично, что это стало настоящей наградой! Решение нашлось и, более того, оказалось удивительно простым и красивым! Но, конечно, и этого было мало. Совпадения чисел недостаточно для утверждения о том, что решение найдено. Однако, зная, что искать, я уже без труда смог строго свести рекуррентное соотношение для моего распределения к соотношению, определяющему числа Стирлинга, после чего задачу можно было счесть решенной.

Мне очевидно, что это достаточно скромный результат, а специалисту по комбинаторике он, скорее всего, покажется простым упражнением. Но я могу им гордиться. После долгих упорных усилий и из моей волшебной палочки вылетели наконец искры и перышко взлетело на пару сантиметров над столом! Это значит, что я действительно делал все верно и когда искал решение, и, главное, когда не допускал возможности публиковать простую эмпирику, претендуя на объяснение пусть даже шуточного эффекта. Я пишу эти строки не для того, чтобы похвастаться, а чтобы вдохновить тех, кто чувствует в себе настоящую любовь к математике, на долгий, кропотливый, но счастливый труд.

К законам подлости эти мои рассуждения имеют вот какое отношение. Метод пристального всматривания в расчете на интуицию работает только тогда, когда к волшебной палочке прилагается аналитический аппарат, который позволит строго проверить результат «озарения». В известной книге «Физики шутят» приводился анекдот о том, как строятся рассуждения представителей различных специальностей.

Продолжите его. «Это же, очевидно, степени двойки! — воскликнете вы. — Следующим числом будет 32, а за ним 64 и т. д.». Но что, если я скажу вам, что следующим должно быть 31? И это не степени двойки, а значения вот такого выражения:

При n = 0, 1, 2, 3, … здесь под знаком суммы стоит биномиальный коэффициент. Первые тринадцать членов этого ряда выглядят так:

Приведенное мною выражение дает число областей, на которые разбивается круг, если расположить на его окружности n различных точек и соединить их каждую с каждой[36]. И эта простая и абсолютно понятная задача имеет столь коварную «подсказку»! Ведь на проверку даже первых пяти чисел уже должно уйти достаточно много времени, чтобы заключить, что число областей выражается степенью двойки. Ну а если упорство возобладает, то подсчет областей при n = 6 неизбежно вызовет недоумение и поиск ошибки в подсчете, ведь 31 так близко к 32 (попробуйте сами нарисовать и сосчитать эти области). Забавно то, что десятый член ряда опять равен степени двойки. Понять, откуда эти степени взялись и почему ряд начинается столь многообещающе, поможет хорошо известный арифметический треугольник, или треугольник Паскаля. Его элементы — биномиальные коэффициенты, а сумма всех чисел каждого ряда в точности равна степени двойки (это обстоятельство используется для нормировки функции вероятности биномиального распределения). Поскольку число областей, на которые разбивается круг, выражается суммой пяти первых биномиальных коэффициентов (на рис. 8.4 они выделены черным цветом), первые пять таких сумм содержат в себе полные ряды в треугольнике, однако начиная с шестого ряда суммирование идет не по всем коэффициентам. Отсюда и взялось «коварное» число 31. В десятом же ряду первые пять коэффициентов составляют ровно половину ряда, общая сумма которого равна степени двойки (2⁹), и, значит, половина тоже будет степенью двойки. Если где-то еще они и встретятся, то это уже будет случайным совпадением.

Рис. 8.4. Треугольник Паскаля

Ричард Ги из Университета Калгари в 1988 году опубликовал статью, озаглавленную «Сильный закон малых чисел»[37], в которой приводит и этот пример (с полным доказательством), и теорему, достойную иных законов подлости:

В ней есть еще более трех десятков примеров последовательностей и «фактов», которые выглядят многообещающими, но никак не могут быть законами.

Мне очень понравился такой пример: при использовании знаменитого метода Евклида для доказательства бесконечности ряда простых чисел последние получаются не всегда. Здесь речь о том, что, предположив конечность ряда простых чисел, мы можем вычислить произведение всех членов этого ряда, увеличить его на единицу и получить число, превышающее все имеющиеся, но не делящееся ни на одно из них. Можно подумать, что произведение нескольких первых простых чисел, увеличенное на единицу, всегда порождает простое число, и убедиться в этом на нескольких примерах.

Последний, да и последующие примеры дают осечку! Получается, доказательство Евклида неверно? Нет, оно совершенно справедливо, поскольку ничего не говорит о простоте результата, но утверждает существование числа, не делящегося ни на одно из полного (по нашему предположению) множества простых чисел. Число 30 031 и вправду не делится ни на одно из перемножаемых чисел. Позже, в 1990 году, тот же Ричард Ги выпустил в свет еще одну статью «Второй сильный закон малых чисел»[38], в которой приводит еще полсотни примеров последовательностей, ломающих интуицию математика!

Воспетая мной математическая интуиция без строгого доказательства может сыграть злую шутку. Более того, и в строгое, но очень сложное доказательство может вкрасться незаметная коварная ошибка, чему есть множество примеров. Обязательно прочтите чудесную книгу «Великая теорема Ферма» Саймона Сингха, чтобы почувствовать, с какими поистине циклопическими законами подлости приходится иметь дело в большой математике. Но удивительное дело: именно эти примеры и рассказы вдохновляют меня на добросовестный поиск математической истины там, где вполне хватило бы наблюдения или приблизительного результата.