Мне только спросить!
Но вернемся к очередям и проблемам, с ними связанным. Есть в нашей жизни досадное явление — «обочечники». Это ушлые водители, объезжающие пробку по обочине и потом встревающие в поток. Есть настырные посетители поликлиник и касс, норовящие просочиться к заветному окошку или двери с формулой «Мне только спросить…». В любую отлаженную бюрократическую систему то и дело врываются неотложные дела, не терпящие промедления. Понятно, что порой без таких случаев не обойтись: в больницах бывают неотложные пациенты, в операционной системе компьютера есть задачи с очень высоким приоритетом; наконец, на дороге мы обязаны пропускать спецтранспорт, едущий по экстренному случаю. Но как внеочередники влияют на всю очередь? Подобные случаи моделируются очередями с приоритетом (рис. 7.8), и для них тоже есть развитая теория, поскольку в жизни они встречаются чуть ли не чаще простых очередей.
Рис. 7.8. Очередь с приоритетом
Пусть в нашей M/M/1-очереди с вероятностью ε могут появляться особые клиенты, назовем их VIP (very impatient person — очень нетерпеливые персоны), которые встают не в конец очереди, а вклиниваются в ее начало, заставляя ждать всех стоящих позади. При этом они всё же дают оператору завершить работу с текущим клиентом, не прерывая его. Если внеочередников наберется несколько, они могут образовать свою VIP-очередь. Вспомним, что пуассоновский поток можно представить как случайное «разбрасывание» по временному интервалу какого-то известного количества событий. Поскольку все клиенты приходят независимо, то, согласно нашему условию, мы получим поток нетерпеливых клиентов ελ и поток обычных клиентов (1–ε)λ, при этом общий поток останется неизменным. Среднее время ожидания для VIP будет равно как в простой M/M/1-очереди, поскольку они в своей VIP-очереди «не замечают» присутствия обычных клиентов. Для того, кто ждет на общих основаниях, время ожидания вырастет и составит уже:
Как показывает рисунок 7.9, пока VIP-ов немного, очереди они мешают не сильно. Но если доля внеочередников оказывается близкой к единице, то никакого преимущества они уже не имеют, зато немногочисленным скромным очередникам приходится ждать существенно дольше. При ε, стремящемся к единице, среднее время ожидания рядовых очередников стремится к μ/(μ — λ)2 (больше двух часов в нашем случае!); и вообще, если μ лишь немного превышает λ, очередь остается устойчивой, однако время ожидания в ней вырастает катастрофически!
Рис. 7.9. Соотношение средних времен ожидания для очереди с нетерпеливыми VIP-клиентами
Но вот что любопытно. Можно найти среднее время ожидания для всей группы клиентов как взвешенную сумму εWVIP + (1 — ε)W0, и она окажется равной 1/(μ — λ)2, то есть такой же, как для обыкновенной M/M/1-очереди без всяких VIP-ов. Выходит, системе в целом внеочередники не мешают. На время занятости оператора они тоже не влияют, распределение времен ожидания остается экспоненциальным. Мы уже говорили в предыдущей главе, что для экспоненциального распределения кривая Лоренца и, соответственно, коэффициент Джини не зависят от параметра распределения, а значит, все M/M/1-очереди имеют одинаковую степень несправедливости — 0,5. Отсюда следует, что наш обобщенный критерий несправедливости для всех ожидающих в очереди также останется равным 0,5.
