Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Как правильно задавать вопрос природе?

Перед тем как приступать к экспериментам, не таким игрушечным, как у нас, а настоящим и дорогостоящим, использующим орбитальный спутник, ускоритель элементарных частиц или тысячу настоящих бутербродов с маслом, необходимо провести подготовительную работу. И один из мощных и красивых методов, позволяющих понять, как верно и оптимально провести эксперимент, — анализ размерностей задачи.

Механику бутерброда мы рассчитывали, пользуясь импульсами и силами — физическими величинами, которые, в свою очередь, связаны уравнениями аналитической механики. И вновь это не просто числа. В физике количественные величины, которые мы измеряем и подставляем в уравнения, не «умещаются» в поле чисел. Они оснащены дополнительной структурой, которая называется размерностью. Не все корректные математические выражения имеют смысл, если в них участвуют размерные величины. Скажем, нет смысла складывать скорость и массу, невозможно сравнить силу и расстояние. Однако можно рассмотреть произведение скорости и массы, получив новую размерную величину — количество движения, или импульс; можно возвести скорость в квадрат и поделить на расстояние, получив таким образом величину, имеющую размерность ускорения.

Анализ размерности и теория подобия родились давно. Со времен лорда Рэлея они используются в механике, электродинамике, астрофизике и космологии, позволяя с пугающей изящностью подходить к решению очень сложных задач. Однако исследования в этой области не завершены, и строгое определение структуры, образуемой количественными (размерными) величинами, было дано лишь в 2016 году испанским математиком Альваро Рапозо[12].

Ограничения, накладываемые размерностями на физические формулы, часто воспринимаются учениками и студентами как лишняя морока, за которой нужно следить. Но логически согласованные ограничения чрезвычайно полезны! Они отсеивают неверные выражения, позволяют «предвидеть» структуру решения физической задачи до ее детального разбора, это мощный инструмент при планировании и анализе экспериментальных данных.

Но вот что важно. Мы рассчитывали падение бутерброда в компьютерной программе, используя не размерные, а обыкновенные числа. Как можно «освободить» физическую величину от размерности и превратить в число? Для этого предназначены хорошо нам знакомые единицы измерения физических величин: все эти метры, фунты, минуты и ньютоны. Единицы измерения берут на себя размерную часть величины, оставляя нам множитель — вещественное число, с которым уже может иметь дело вычислительная машина. Например, скорость в выбранном направлении величиной 72 км/ч можно представить числом 72. Но тут есть тонкость: от выбора единиц измерения зависит числовое представление. При других единицах (скажем, метрах и секундах) эта же скорость будет представлена другим числом: 20. Числа разные, но величина одна, и она не зависит от конкретных единиц.

Возникает вопрос: существует ли в каком-либо смысле «самая лучшая» система единиц? Оказывается, да, но для каждой задачи она своя. При решении нужно использовать в качестве единиц измерения размерные величины, входящие в задачу.

В этой главе у нас летают бутерброды, в предыдущей — монетки. Приведем еще один пример из области полетов. Как сравнивать летные качества различных птиц? Понятно, что скорости, которые развивают птицы, различны: у голубя — 90 км/ч, у стрижа — 140 км/ч, у журавля, воробья или кряквы — 50 км/ч, у колибри — 80 км/ч. Но все эти птицы существенно различаются по размерам и манере полета. Если длину попугая измерять в попугаях, а время — в периодах взмаха его крыльев, можно получить некую, как говорят, собственную скорость попугая. Можно скорости, которые способны развивать эти птицы, разделить на собственные значения и получить безразмерную скорость, показывающую, на сколько длин корпуса может переместиться птица за один взмах крыльев. Вот что получается при таком сравнении.

Видно, что стриж по праву считается лучшим летуном, а вот колибри неэффективно расходует энергию. Впрочем, у этой птицы нет задачи лететь долго, как у голубя. Одинаковые абсолютные скорости журавля, воробья и утки существенно разнятся при переводе в безразмерные величины. Такого рода расчеты используются, чтобы моделировать настоящий большой самолет, испытывая маленькую модель в аэродинамической трубе. Если все безразмерные параметры этих двух систем близки, они могут считаться физически подобными, и моделирование имеет смысл. Мы уже пользовались таким подходом, отражая на диаграммах Лоренца относительные единицы вместо абсолютных. Это позволяло нам сравнивать различные явления и распределения.

Какой будет самая подходящая система единиц при анализе полета бутерброда? Длину и стола, и бутерброда надо измерять не в сантиметрах или метрах, а в бутербродах. За единицу времени можно взять величину где l — длина бутерброда, а g — ускорение свободного падения. Легко убедиться, подставив какие-нибудь единицы измерения, что эта величина имеет размерность времени. Получив результат таким путем, мы сразу можем обобщить его как для крошечного канапе, так и для солидного «лаптя». Итак, повторим наши вычисления, благо виртуальные бутерброды у нас не закончатся никогда, отражая на графике высоту стола в собственных единицах. Если мы всё сделаем правильно, то для двух разных по размерам бутербродов мы должны получить очень похожие графики. Проверим это (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Вероятность приземления маслом вниз бутерброда некой фиксированной величины при различной высоте падения, определенной в собственных единицах задачи. Черные точки соответствуют бутерброду размером 5 см, белые — 10 см

В первоначальной постановке задачи мы, перебирая различные размеры, получали облако результатов, в котором оказалась скрыта интересующая нас зависимость. При увеличении числа испытаний мы это облако усреднили и получили неинтересный ответ, лишенный важных деталей. Чтобы ярче показать, в чем состояла методическая ошибка, представьте, что мы захотим вычислить вероятность падения бутерброда маслом вниз, перебирая случайным образом и начальные условия, и размеры бутерброда, и высоту. Это равносильно усреднению всех результатов разом. В итоге мы получим уверенную серединку — вероятность, очень близкую к 1/2, как при подбрасывании монеты! Очень логичный и ожидаемый результат, но он неинтересен. Усредняя множество данных для разных размеров, мы уже приблизились к такому выводу. Но если цель моделирования состоит в выявлении закономерности, то имеет смысл минимизировать число параметров.

Обезразмеренные данные теперь четко говорят в пользу нашего закона, ограничивая его, однако, определенным диапазоном высот: от 2 до 5 размеров бутерброда (от высоты локтя над столом до высоты руки сидящего человека). За пределами этого диапазона у бутерброда повышается шанс повернуться более выгодной для нас стороной перед падением.

А что, если заглянуть дальше и кидать бутерброды из окна? Понятно, что при падении с большой высоты уже неважно, какой стороной приземлилось то, во что превратится бутерброд, и сопротивление воздуха стабилизирует падение, но чисто теоретически: что мы ожидаем увидеть? Наверное, должны наблюдаться некие колебания вероятности по мере увеличения времени полета. Давайте посмотрим (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Вероятность приземления маслом вниз бутерброда при падении с большой высоты

В целом форму зависимости мы угадали, но любопытно, что амплитуда колебаний вероятности уменьшается и она сходится к 50 %. О чем это может говорить? Тот же ли это эффект, что и в случае с монеткой, когда при увеличении длительности полета становятся более существенными последствия отклонений начальных условий? Оказывается, в данном случае природа выравнивания вероятностей иная.