Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Быстрее, еще быстрее!

Давайте теперь исследуем само явление цейтнота и его выматывающие свойства. Для этого обратимся к методу Монте-Карло и построим несколько тысяч стохастических цепочек, после чего усредним их, получив некую гладкую функцию. Она показана сплошной линией на рис. 8.5 и представляет собой математическое ожидание случайной функции, описывающей наш нестационарный стохастический процесс. Назовем эту случайную функцию темпом выполнения работы.

Рис. 8.5. Множество стохастических цепочек с дедлайном и ожидаемый темп выполнения работы

В предыдущей главе мы говорили о таких функциях, рассматривая очень простой случай стационарных процессов с неизменной интенсивностью. Сейчас же мы видим иную картину. Наша функция имеет переменную дисперсию, уменьшающуюся ближе к дедлайну. Это говорит о том, что последовательности, порождаемые случайной функцией, при приближении к правому краю сливаются и становятся неотличимы друг от друга.

Обратите внимание на то, что оси графика приведены к общему числу дел и всему отпущенному времени. Это, с одной стороны, позволяет нам сравнивать как разные сроки, так и различные по длине цепочки, а с другой — мы опять получили что-то подобное кривой Лоренца: некое формализованное отражение несправедливости.

Наблюдаемый темп, увы, очень неравномерен: в первую половину срока будет сделано едва ли 10 % работы, а добрую половину всех дел придется выполнять, имея в распоряжении менее 10 % времени. Но главная особенность: темп, вернее его наклон, стремительно увеличивается при приближении к дедлайну! Мы получили модель предновогоднего ража или паники в преддверии годового отчета, а также нащупали закон подлости, знакомый всякому, кому приходилось организовывать концерт, костюмированный вечер или иное мероприятие:

Прекрасные живые примеры таких процессов описаны, например, в рассказах Карела Чапека «Как делают газету» и «Как ставится пьеса». Неужели причина этого проклятия кроется только в нашей неорганизованности и безалаберности? Это, конечно, основные причины, но мы не настолько в них виноваты, чтобы нельзя было попробовать оправдаться каким-нибудь математическим законом. Стратегия балбеса, конечно, выглядит глупо, но взрывной рост темпа — это не шутки! Можно ли вообще с ним справиться?

Имея в распоряжении функцию вероятности для распределения Стирлинга, ожидаемый темп выполнения работы можно вычислить точно. Формула не слишком изящна, однако примечательно, что в нее входит число дней n и не входит число запланированных дел:

Логарифм — функция медленная, если только его не прижать к стенке. В последние дни перед дедлайном темп растет катастрофически — с такой же скоростью, с которой логарифм проваливается в бездну при приближении к нулю. Однако от числа выделенных дней он все же зависит. Можно посмотреть, как выглядит ожидаемый темп для недели, месяца и года (рис. 8.6).

Рис. 8.6. Наиболее вероятный темп выполнения работы в ограниченный срок

Обратите внимание на то, что жесткое ограничение по времени благотворно. Имея в запасе всего неделю, мы, скорее всего, станем выполнять работу равномернее (к середине срока будет готова треть), а если впереди целый год, то можно и расслабиться, а потом об этом пожалеть. У идеального исполнителя-перфекциониста, который выполняет работу равномерно, темп соответствует диагонали (пунктирная линия на рисунке). Это похоже на кривую равенства на диаграмме Лоренца, знаменующую справедливость. Подобно тому как мы вычисляли коэффициент Джини для диаграммы Лоренца, мы можем, основываясь на площади между кривой темпа выполнения работ и идеальной кривой, определить некий коэффициент подлости, который покажет, насколько мы далеки от идеала. Он зависит от длины выделенного срока и потихоньку увеличивается с ростом n. В приведенных нами примерах для недели, месяца и года коэффициент подлости равен соответственно 0,37, 0,49 и 0,63. Этот индекс увеличивается с ростом n очень медленно, но если устремить число дней к бесконечности, он будет стремиться к единице. Итак, мы приходим к парадоксальному, но по-своему красивому результату: имея в распоряжении бесконечное время, балбес может запланировать бесконечное число дел, однако ожидаемый темп выполнения будет почти всюду равен нулю. Это значит, что почти наверняка он не выполнит ничего из запланированного, отложив все дела на бесконечное будущее! Вспоминаются привычные сетования: «Целое лето (каникулы, жизнь) пролетело, а я так ничего и не успел!» Что ж, даже этому есть математическое объяснение.

Даосы в Древнем Китае крепко размышляли о вечной жизни, причем очень грамотно: наряду с упражнениями тела, необходимыми для решения такой задачи, они занимались упражнениями ума, чтобы приспособить его к вечному существованию, породив оригинальную и интересную философию. Как видно, вечная жизнь требует большой дисциплины, иначе даже вечность — весьма вероятно — можно потратить впустую.