Совсем немного о случайных функциях
Здесь мы ненадолго остановимся и обсудим, что же все-таки такое случайный процесс.
Все очереди движутся по-разному. Ступеньки пуассоновского процесса не повторяют друг друга, и мы располагаем только какими-то статистическими свойствами случайных процессов. Но это уже явно не просто случайное число, а кое-что посложнее. С чем же мы имеем дело? Случайный процесс порождает некую последовательность. Его повторение приведет к новой последовательности, скорее всего с другим числом точек. А можно ли обобщить все эти случайные последовательности? Главным свойством случайных величин мы считаем их непостоянство: от раза к разу, от эксперимента к эксперименту каждая из них меняет свое значение, оставаясь при этом одним объектом. Мы смогли однозначно характеризовать его распределением случайной величины — функцией, сопоставляющей каждое значение случайной величины (или диапазон значений) и его вероятность.
Говоря о стохастических последовательностях, мы имеем дело уже не со случайной величиной, а со случайной функцией. Например, для пуассоновского процесса это функция от времени, возвращающая случайную величину — число отсчетов, наблюдаемых за указанное время. Можно ли такую случайную функцию характеризовать так же однозначно и точно, как случайная величина определяется своим распределением?
Построим на одном графике большое число пуассоновских «лесенок» одинаковой интенсивности, а потом для каждого момента времени создадим срез всех этих данных и усредним их, получив одну точку. Вот что мы увидим (рис. 7.7).
Рис. 7.7. Черная сплошная линия — результат усреднения множества реализаций пуассоновского процесса с интенсивностью 1/4
Облаком всевозможных последовательностей оказалась окружена прямая линия, имеющая наклон, равный интенсивности потока. Это график математического ожидания случайной функции. В отличие от настоящего пуассоновского процесса, то есть подсчета числа событий, значения этой функции — уже не целые числа. Как и среднее значение случайной величины, она характеризует случайную функцию, но вовсе не полностью. Например, можно рассмотреть аналог дисперсии, показав, насколько велик ожидаемый разброс значений от среднего. Стандартное отклонение показано на рисунке пунктиром. Но и две функции — среднее и дисперсия — не дадут полной характеризации. Одна и та же случайная функция способна породить бесчисленное множество последовательностей одинаковой интенсивности. Вновь перенесемся в аэропорт и представим себе две одинаковые очереди, идущие параллельно, например к стойке регистрации. Их движение описывается идентичными случайными функциями, средние графики неразличимы, однако наблюдаемая разница в шагах между двумя параллельными одинаковыми очередями подчиняется нетривиальному распределению Скеллама.
Может быть, если для каждого среза времени мы выясним распределение случайной величины F(t) (скажем, найдя его плотность вероятности pF(t)), то получим исчерпывающую информацию о случайной функции F? Наконец, можно ли синтезировать случайный процесс, генерируя случайные числа согласно распределениям pF(t)?
Ответ на все эти вопросы: нет. Случайные функции устроены сложнее, чем случайные числа. Рассуждая о марковских цепях, мы говорили, что они порождают случайные процессы, не имеющие памяти. При этом мы имели в виду, что на будущее в этих процессах влияет не прошлое, а только настоящий момент. Это свойство — отсутствие памяти — характерно для экспоненциального распределения и связанного с ним пуассоновского процесса. Характеристика памяти процесса — величина, называемая автокорреляционной функцией, которая определяется как среднее от произведения двух значений функции, вычисленных в разделенные известным промежутком τ моменты времени:
Здесь символ M[F(τ)] обозначает математическое ожидание (среднее значение) функции f(t). Величина временного лага τ показывает, насколько далеко мы заглядываем в прошлое. Для важного класса случайных функций, которые называются эргодическими, усреднение может производиться не по множеству реализаций случайного процесса, как для множества пуассоновских процессов, а по одному достаточно длинному ряду наблюдений за единственной реализацией. В физике, экономике или климатологии эргодичность случайных последовательностей очень важна, поскольку мы располагаем одним-единственным миром и можем наблюдать за ним долго, но неспособны исследовать множество его различных реализаций.
Автокорреляция позволяет различать истинно стохастические процессы, детерминированные процессы с наложенным на них шумом и процессы, порождаемые динамическим хаосом. С ее помощью можно отделять в экспериментальных данных основные временные закономерности, присущие процессу, порождающему эти данные, от случайного, не связанного с ними шума. Это один из основных инструментов анализа временных рядов. С его помощью сейсмологи расшифровывают запись землетрясения, выделяя из, казалось бы, совершенно беспорядочного сигнала первичные волны, пришедшие непосредственно от землетрясения, волны, отраженные от границ внутренних слоев Земли, вплоть до самого ядра, и обменные волны, рождающиеся на этих границах. Так сильные землетрясения на несколько часов делают нашу планету «прозрачной», как бы подсвечивая ее изнутри лучами сейсмических волн.
Корреляция в переводе с латыни — «отношение»; получается, что автокорреляция — «отношение к самому себе» или «связь с самим собой в прошлом». Согласитесь, это красивый образ не только для случайной функции, но и для человека.
