Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Игры с энтропией

Если понятие энтропии помогло предсказать и объяснить экспоненциальное распределение в простейшей модели рынка, то, быть может, оно окажется полезным и в более сложных моделях? Мы станем добавлять ограничения в модель рынка, делать предположение о форме распределения исходя из принципа максимума энтропии, а потом проверять результат с помощью имитационного моделирования.

Для начала искусственно ограничим сверху уровень богатства отдельного игрока, запретив ему получать деньги, если у него уже есть некая фиксированная сумма x_max. В случае, если m = x_max/2, мы приходим к варианту, описанному в первом ряду таблицы распределений с максимальной энтропией. Действительно, ограничивая случайную величину конечным отрезком и не указывая больше ничего, мы не можем предположить никакого другого ожидаемого значения среднего, кроме середины этого отрезка (рис. 9.8). Следовательно, равновесным распределением при таком варианте должно быть равномерное. Проверим, так ли это, воспользовавшись следующим алгоритмом.

Рис. 9.8. Вот что происходит при ограничении сверху возможного уровня богатства игроков, причем таким образом, что верхняя граница ровно вдвое превышает среднее значение

Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m, xMax — максимальная разрешенная сумма.

Повторять

· · · · i <- случайное целое от 0 до n

если xs[i] > 0

· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n

если xs[j] <xMax

xs[i] <- xs[i] — 1

xs[j] <- xs[j] + 1

Надо заметить, что мы получили довольно любопытный результат. Каждый из участников группы все еще испытывает случайное блуждание, но никто не «прилипает» к границам и в группе происходит равномерное перемешивание. Напомню, что коэффициент Джини для равномерного распределения равен 1/3, что уже существенно лучше, чем 1/2 для экспоненциального распределения, так что ограничения могут пойти на пользу.

А что случится при нарушении симметрии, то есть при сдвиге правой границы вправо или влево от значения 2m? Распределение достатка в таком случае перестанет быть равномерным и приобретет некоторый перекос в сторону смещения среднего относительно середины разрешенного диапазона уровня богатства. Принцип максимума энтропии позволяет получить точные выражения для этих распределений — это всё те же распределения Гиббса (экспоненциальные), но отличные от нуля лишь на заданном отрезке и соответствующим образом нормированные (рис. 9.9). Правда, в конечной форме (в виде алгебраического выражения) показатели экспонент уже не выражаются, но их всегда можно получить численно с необходимой точностью.

Рис. 9.9. Варианты равновесных распределений для обмена с ограничением сверху. Вертикальной линией показано значение среднего (начального) богатства участников эксперимента. Коэффициенты Джини для полученных нами двух случаев равны 0,2 (для правого смещения среднего) и 0,43 (для левого смещения среднего)

Очень необычный вид распределения получается при смещении среднего относительно середины отрезка вправо: богатых игроков в равновесии становится больше, чем бедных. Показатель, характеризующий температуру в этом распределении, имеет отрицательный знак! В обычной жизни под отрицательной мы понимаем температуру ниже точки замерзания воды — 0 ^oC — и ничего странного в ней не находим. Однако в термодинамике речь идет об абсолютной температуре (по Больцману) как о характеристике внутренней энергии системы. Таким образом, для частиц, не взаимодействующих между собой (как в идеальном газе), говорить об отрицательной температуре нет смысла: модуль количества движения не может быть меньше нуля. Но в других физических системах такая ситуация уже возможна. В статистической физике отрицательной считается температура, характеризующая равновесные состояния термодинамической системы, где вероятность обнаружить систему в микросостоянии с более высокой энергией выше, чем в микросостоянии с более низкой. Это становится возможным лишь при ограниченном объеме фазового пространства; именно такой случай мы и наблюдаем. Примерами систем с отрицательной абсолютной температурой могут быть лазер в возбужденном состоянии, частицы газа в сложных внешних силовых полях, например в стоячей световой волне, и другие непростые квантовые системы.

Внимательный читатель может возмутиться: мы же говорили, что в нашем случае роль температуры играет среднее количество денег у членов группы, какой же смысл может быть в отрицательном среднем количестве денег? Введение верхнего предела оставило распределение экспоненциальным, но поменяло форму показателя в экспоненте. Теперь он хоть и зависит от среднего значения m, но не равен ему. Если нам будет угодно, мы и дальше можем называть величину, обратную показателю, аналогом температуры, но делать это следует с большой осторожностью. Показатель в экспоненте получается пропорциональным значению 1/(m — x_max/2), и эта величина уже может менять знак. Более того, он меняется при переходе знаменателя через ноль! Получается, что равномерному распределению (m — x_max/2) соответствует бесконечная температура? Это не совсем так. На ноль, как мы уже упоминали, делить нельзя, так что о какой-либо температуре — в смысле показателя экспоненты — для равномерного распределения говорить тоже нельзя, ведь распределение вовсе перестает быть экспоненциальным. Выбранная нами математическая модель меняется, и в ней нет аналога термодинамической температуры.

Я хочу здесь еще ненадолго остановиться на вопросе применимости математических и физических аналогий. Часто привычные и, как нам кажется, простые понятия имеют очень глубокие и фундаментальные основания. Так, знакомое всем нам с детства понятие температуры физикам удалось глубоко понять и осознать только с развитием методов теории вероятностей и математической статистики. После этого стало возможным осмысленно рассуждать о термодинамике лазеров, биологических и социальных систем, звезд и даже черных дыр. В данной книге мы постигаем природу несправедливости с помощью этих же методов. Но не нужно буквально понимать наши достаточно вольные рассуждения о температуре рынка, ее знаке и возможности бесконечных значений. Мы много раз говорили об удивительной способности математики обнаруживать одинаковые модели и структуры для самых разнообразных явлений. Построенная нами статистическая модель рынка и модель ансамбля физических частиц, имея много общего, все же не одно и то же. Именно поэтому то, что в физике называется и является температурой, имеет аналог в эконофизике, но собственно температурой в этой дисциплине не считается — как и величина, обратная интенсивности, в экспоненциальном распределении пауз между машинами на автостраде.