Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Тот самый закон подлости

Один из классических законов подлости, сформулированный в сердцах инженером Эдвардом Мёрфи, гласит:

Сейчас мы можем взглянуть на него не только иронично.

Пусть для выполнения некоторой работы требуется совершить ряд действий, и для каждого из них существует маленькая, но отличная от нуля вероятность неудачи. Какова вероятность того, что все задуманное пройдет без сучка без задоринки? Мы имеем дело с пересечением множества событий, каждое из которых соответствует успешному завершению того или иного этапа работы. Как посчитать вероятность для пересечения двух событий, мы уже знаем: для этого нужно перемножить вероятность второго события при условии, что первое случилось, на вероятность первого события:

Операция пересечения ассоциативна: мы можем в произвольном порядке расставлять скобки для трех и более пересекающихся событий.

Отсюда легко получить общую формулу для пересечения произвольного числа событий:

Если события независимы, то мы получаем произведение вероятностей наступления каждого из них:

Но для нас важно, что вероятности, условные или нет, по определению должны быть меньше единицы, а значит, мы вправе использовать закон арбузной корки: чем больше число шагов, тем существеннее роль границ. В нашем случае границами становятся нештатные ситуации. Достаточно дюжины шагов, чтобы средняя вероятность такой ситуации или ошибки в 5 % на одном шаге выросла до вероятности провала всего дела!

Эти наши рассуждения чрезвычайно просты, а закон Мёрфи — скорее эмоции, чем объективность, да и в целом кажется трюизмом. Но все же именно с этого наблюдения в сороковые-пятидесятые годы двадцатого века началась новая большая наука: теория надежности. Она добавила в рассмотрение время, взаимосвязь элементов систем, экономику, а также человеческий фактор, и нашла применение за пределами инженерных наук: в экономике, теории управления и, наконец, программировании. Мы еще вернемся к этой теме, когда будем изучать проклятие режиссера, заставляющее принтер барахлить именно в день сдачи проекта. Закон Мёрфи с учетом времени — поистине страшная сила!

В связи с рассуждениями о вероятности пересечения множества событий может возникнуть интересный и непростой вопрос. Если вероятность определена как мера, то она должна обладать свойством аддитивности. Иначе говоря, мера целого должна быть суммой мер его частей. Но мы рассмотрели вероятность успеха для некого дела со множеством этапов и увидели другую картину: вероятность целого оказалась равна произведению вероятностей для его частей, а не сумме. Это соответствует свойству мультипликативности. Так аддитивна вероятность или мультипликативна? Тут следует различать вероятностное пространство, на котором вероятность играет роль аддитивной меры и в котором сложение целого из частей выполняется с помощью операции объединения событий, и фазовое пространство некоторой системы, содержащее все возможные ее состояния. Фазовое пространство измеримо, но вероятность мерой в нем не является. Чтобы произошло событие, соответствующее попаданию системы в заданное состояние, все ее составные части должны одновременно попасть в свои конкретные состояния — тогда возникнет пересечение соответствующих событий. Таким образом, вероятности этих событий перемножаются. Однако превратить вероятность в «нормальную» аддитивную меру на фазовом пространстве можно и нужно. Мы совершим это превращение, когда будем говорить об энтропии систем и распределений случайных величин в главе 9.