Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Начнем с многомерного арбуза

Одна из особенностей многомерной геометрии — увеличение доли пограничных значений в ограниченном объеме. Вот что имеется в виду. Рассмотрим классическую задачу об арбузе в пространствах с различной размерностью и зададимся целью выяснить, сколько чудесной сахарной мякоти нам достанется от этого огромного, крепкого и аппетитного арбуза, если, надрезав его, мы выяснили, что толщина его корки не превышает 15 % от его радиуса? Кажется, что это многовато, но посмотрите на рис. 5.1: пожалуй, арбуз с такими пропорциями мы сочтем вполне приемлемым. Рассмотрим сначала одномерный арбуз, в виде розового столбика. Его корка представляет собой два маленьких белых отрезочка по краям, ее суммарная длина будет мерой (обобщенным объемом) в одномерном мире и составит 15 % от общей меры арбуза. У двумерного, блинообразного арбуза мера корки в виде площади белого кольца будет меньше, чем внутренняя часть, уже всего в три раза. В привычном нам трехмерном мире такая корка составит почти 40 % общего объема. Чувствуете подвох?

Рис. 5.1. Задача об арбузе

Такую возрастающую роль границ мы уже встречали, когда рассматривали туристический закон подлости. Но тогда мы ограничились двумерным случаем, вполне естественным для топографических карт. Сейчас мы пойдем дальше.

Для шара, как, впрочем, и для тела произвольной формы, можно точно вычислить зависимость доли корки от общего объема тела. Ее легко получить и обобщить на произвольно многомерные пространства, вновь воспользовавшись анализом размерности и общим понятием меры. Для сплошного тела в пространстве размерности m его мера, или обобщенный объем, пропорциональна степенной функции от характерного размера тела d:

Под знаком пропорциональности здесь скрывается константа, которая называется формфактором. Она зависит от формы тела и размерности пространства, но не зависит от размеров: для куба она равна 1, для шара того же размера выражается сложнее — через гамма-функцию: π^m/2/Γ(m/2+1), которая для целых аргументов сводится к факториалу числа (Γ(n+1) = n!) и т. д. Ни конкретная форма, ни этот коэффициент для анализа нам не нужны. Под сплошным я понимаю тело, не относящееся к фрактальным. Такие объекты отличаются от сплошных именно тем, что их обобщенный объем пропорционален их размеру в некоторой дробной степени, отличной от размерности вмещающего пространства. С примерами фрактальных объектов — множеством Жулиа и губкой Менгера — мы уже встречались раньше, когда рассматривали подмножества нулевой меры. Может показаться, что это экзотика, но природа находит фрактальные решения для очень многих задач: от роста кристаллов до разряда молнии, от корневой системы растений до устройства наших легких. Но, повторюсь, здесь мы будем рассматривать только сплошные тела.

С объемом как с мерой мы разобрались в главе 1, а что такое характерный размер? Мы можем сказать, что человек имеет характерный размер порядка метра, а муравей — миллиметра. В то же время характерный размер нашей Галактики — 100 тысяч световых лет. Все эти объекты имеют весьма сложную форму, но когда мы говорим о характерных размерах, она нас не интересует. Это понятие можно строго определить как среднее геометрическое размеров тела в разных направлениях или как диаметр шара, имеющего такой же объем, как и рассматриваемое тело.

Объем корочки равен следующей разнице:

а отношение объема корки, составляющей долю δ от размеров тела, к общему объему выражается так:

Как хорошо получилось — мы перешли от пропорциональности к точному равенству. Все благодаря отношениям, в которых сократились неизвестные нам формфактор и размеры тела. Таким образом, полученное соотношение объема корки и объема тела универсально и годится для арбузов сколь угодно сложной формы.

Вот как выглядит график роста доли пятнадцатипроцентной по радиусу корочки арбуза в его объеме при дальнейшем увеличении размерности пространства (рис. 5.2).

Рис. 5.2. В четырехмерном пространстве наш условно тонкокорый арбуз оставит нам уже лишь половину мякоти, а в одиннадцатимерном мы сможем полакомиться 15 % арбуза, выбросив корочку, составляющую 15 % его радиуса!

Итак, сейчас мы готовы сформулировать глубокомысленный закон арбузной корки: