Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Айда кидать бутерброды в Монте-Карло!

Мы редко подбрасываем бутерброды, как монетку, — по крайней мере, когда становимся старше двух лет. Чаще всего мы невольно повторяем примерно один и тот же эксперимент: бутерброд, изначально расположенный маслом вверх, выскальзывает из рук или съезжает со стола. В процессе соскальзывания он закручивается, летит в воздухе и наконец шлепается на стол или на пол. На начальный этап падения влияет ряд параметров: трение о пальцы или поверхность стола, начальное положение бутерброда и его начальная скорость, высота падения — наконец, размеры бутерброда. Налицо динамическая система с несколькими входными параметрами и одним выходным — положением бутерброда на полу. Внутри системы, как и в случае с монеткой, работают механические законы, которые описываются дифференциальными уравнениями, и они детерминистические. Это значит, что в них нет никаких случайностей. Результат зависит только от входных данных, и при точном повторении параметров мы должны получать идентичные результаты. Это относится к модели бутерброда, представленной в виде системы дифференциальных уравнений. А что насчет настоящих бутербродов, шероховатых и неповторимых, роняемых настоящими людьми в ресторанах, на улице или на диване? Изменчивость реального мира можно описать, подавая на вход детерминистической системы случайные параметры.

Однако даже алгебра случайных величин, включающая в себя лишь сложение и умножение, — дело непростое, а у нас дифференциальные уравнения! Мы не полезем в эти увлекательные дебри, а используем отработанную во многих областях технику — метод Монте-Карло. Он состоит в определении свойств некой сложной системы в результате многократных испытаний с различными случайными параметрами. Подчеркну еще раз: исследуемая система не стохастична и не хаотична, и на случайные входные данные она реагирует предсказуемо. В методе Монте-Карло случайность нужна лишь для того, чтобы эффективно перебрать как можно больше вариантов и заглянуть во все реалистичные «углы», получив представление о поведении системы. Это универсальный метод, применяемый в самых разнообразных задачах. Обычно студенты впервые знакомятся с методом Монте-Карло, изучая численное интегрирование, например вычисляя площадь какой-либо сложной фигуры, задаваемой системой неравенств, которая не имеет приличного аналитического представления. То обстоятельство, что вероятность — мера, позволяет использовать метод Монте-Карло для вычисления мер (площадей и объемов) геометрических фигур.

Особенность предстоящего эксперимента с бутербродом состоит в том, что нас интересует зависимость вероятности того или иного его исхода от параметров задачи. Мы будем искать ответ на вопрос: при каких обстоятельствах выполняется закон бутерброда? Станем подавать на вход нашей динамической системы различные конкретные параметры и набирать статистику по падениям маслом вверх и маслом вниз. И результатом ряда экспериментов будет число — вероятность падения маслом вниз.

Я убежден, что намеренно ронять на пол настоящие бутерброды из хлеба и масла неправильно, поэтому воспользуемся математическим моделированием. Для решения задачи я взял один из доступных симуляторов физического мира, которые используют для создания онлайн-игр. Он легко позволил создать виртуальные стол и пол, а также два бутерброда. Один оказывался на краю стола, а второй «выскальзывал из пальцев», то есть соскальзывал с точечной опоры (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Математические эксперименты с бутербродами

В моих силах задать все параметры задачи: начальные позицию и угол бутерброда, горизонтальную скорость для случая смахивания со стола, коэффициенты трения, размеры бутерброда и высоту падения. В момент, когда бутерброд касается пола, фиксируется угол бутерброда, вернее угол вектора, нормального к нему. О том, с какой стороны оказалось масло, нам скажет знак синуса этого угла: положительному значению соответствует удачный случай, а отрицательному — положение маслом вниз. Результат заносится в таблицу, и новый виртуальный бутерброд готов к падению. Задачу мы поставим такую: оценить вероятность приземления бутерброда маслом вниз при его падении с заданной высоты.

При этом мы ничего пока не будем говорить о масле. Но обещаю, что ему будет посвящен отдельный разговор, где мы подробно рассмотрим его роль в этом законе.