Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Откуда же берется случайность?

В сувенирных лавках можно найти магнитные маятники для «выбора желаний». Это тоже механические генераторы случайности, и их иногда ошибочно называют «хаотическими маятниками». Начав движение с каких-то начальных позиции и скорости, маятник совершает ряд «непредсказуемых» колебаний и наконец останавливается в одном из секторов. Однако колебания и здесь не непредсказуемы, просто они очень чувствительны к начальным условиям. Для каждого сектора, в котором может остановиться маятник, существует область притяжения в пространстве координат-скорости. Это множество таких начальных условий, при которых маятник обязательно притянется к определенной точке в указанном секторе. Точка остановки маятника называется аттрактором — притягивающей точкой. В случае маятника с рис. 2.5 пространство координат и скоростей четырехмерно, и так просто области притяжения показать не удастся. Но если ограничиться двумя секторами и свести задачу к одномерной (такой маятник называется осциллятором Дюффинга), то пространство начальных значений превратится в плоскость, так что области притяжения можно будет увидеть. Они выглядят как замысловатая фигура, напоминающая древний символ «инь-ян» и быстро превращающаяся в узкие полоски, которые разделяют области притяжения.

Рис. 2.5. Области притяжения аттракторов для одномерного маятника желаний — осциллятора Дюффинга

Как и в случае с монетой, немного смещая начальные условия, мы попадаем от одного аттрактора к другому. Так же действует и игральная кость, и рулетка, но они не могут считаться сами по себе генераторами случайности. Это не истинно хаотические системы, и их поведение теоретически можно рассчитать точно. Иначе говоря, вероятностные методы применительно к таким системам помогают восполнить наше незнание о них, но не соответствуют неотъемлемым свойствам самих систем.

Но существует ли настоящая случайность, глубинная, невычислимая в принципе, описываемая только на языке вероятностей? Да, причем такие системы можно разделить на два типа: стохастические и хаотические.

Хороший пример истинно стохастической системы — появление автомобилей на дороге. Люди не договариваются, не согласовывают свои планы, каждый элемент ансамбля за пределами дороги действует независимо. И хотя в поведении людей есть определенные закономерности — часы пик утром и вечером, пустые дороги ночью и т. д., — мы не обладаем и никогда не будем обладать достаточной информацией о каждом участнике движения, чтобы предсказать появление любого из них. Можно взлететь над дорогой на вертолете и посмотреть, какие машины мы скоро увидим, расширив наше знание о ней, но и это не будет исчерпывающим описанием системы. Надо еще «взлететь» над временем, чтобы увидеть все прошлое и все причинно-следственные связи между элементами. Однако и этого недостаточно. Нужно заглянуть каждому участнику движения в мозг и выяснить, что он намерен делать и что станет делать, если другие участники изменят его планы. Таким образом, наряду с макроскопическим описанием системы в игру вступает скрытое от нас внутреннее состояние ее элементов, и оно порой выходит на первый план. Другой яркий пример стохастической системы — механика элементарных частиц на квантовом уровне, распад нестабильных атомов, изменения в генетическом коде, а также, видимо, землетрясения и котировки ценных бумаг на бирже. Единственное, что остается исследователю, — рассматривать их как истинные случайные величины и описывать в терминах теории вероятностей.

Есть и другой источник случайностей — динамический хаос. Хаотические системы отличаются от стохастических тем, что описываются небольшим числом точных уравнений и параметров, в которых не содержится случайности или скрытой внутренней структуры. Однако их поведение не просто сложно, а хаотично и истинно непредсказуемо. Если мы начнем раскачивать маятник желаний, пусть очень аккуратно, с предельно точно контролируемой частотой и амплитудой, то обнаружим, что его плавные движения невозможно просчитать надолго. Никакими алгоритмами на сколь угодно точных вычислительных машинах нам не удастся рассчитать точное поведение маятника на произвольно далекое будущее. Он не остановится на каком-либо секторе, а будет совершать свои движения, но никогда не вернется в одну и ту же точку в пространстве координат-скорости дважды. Еще один пример предельно простой хаотической системы — идеальный шарик, подпрыгивающий в поле тяжести на идеальном столике с пружинкой. Сравнительно простые уравнения Лоренца показали, что мы никогда не сможем предсказывать погоду больше чем на пару-тройку недель: это тоже хаотическая система.

В XX веке теории динамического хаоса удалось объяснить природу такой непредсказуемости. Простой одномерный маятник желаний, который мы рассматривали, имел две устойчивые стационарные точки — два аттрактора, — и одну неустойчивую, от которой система старается уйти; она показана белым кружком на рисунке 2.5. В хаотическом режиме вместо набора аттракторов в системе появляется бесконечное множество неустойчивых стационарных траекторий. Это множество бесконечно, но имеет нулевую меру и представляет собой очень сложно устроенную несвязную структуру. Попав на одну из таких траекторий, в принципе невозможно ей следовать, используя какие-либо конечные алгоритмы. И вот что самое удивительное — оказалось, это бесконечное множество неустойчивых траекторий само по себе притягивающее! Хаотическая система непрерывно перескакивает от окрестности одной неустойчивой траектории к другой, все время оставаясь в пределах этого странного аттрактора. Так эти множества и называются: странные аттракторы. Вот как завораживающе красиво выглядит сечение плоскостью странного аттрактора для одномерного маятника желаний (осциллятора Дюффинга), подверженного гармоническим колебаниям (рис. 2.6). Этот объект можно описать в трехмерном пространстве (отклонение × скорость × фаза вынужденного колебания). Если рассечь аттрактор в нем плоскостью, то можно увидеть его структуру — это называется сечением Пуанкаре. Каждая точка здесь — след траектории, а оттенок точек отражает относительную скорость, с которой траектории разбегаются друг от друга. Вот еще пара красивых странных аттракторов (рис. 2.7).

Рис. 2.6. Сечение плоскостью странного аттрактора для осциллятора Дюффинга

Рис. 2.7. Слева: сечение Пуанкаре для траектории шарика, подпрыгивающего на подпружиненном столике. Множество точек принадлежит поверхности сферы, соответствующей закону сохранения энергии. Справа: объемная область, которая заключает в себе странный аттрактор, рождающийся при вынужденных колебаниях толстой пластины

Гладкость хаотической траектории позволяет немного заглянуть в будущее хаотической системы. Это объясняет одно досадное наблюдение: с одной стороны, синоптики порой не могут уверенно предсказать погоду на неделю, а с другой, если вы скажете, что завтра будет такая же погода, как и сегодня, то не ошибетесь примерно в трех случаях из четырех. Вообще же анекдоты о синоптиках несправедливы, и нужно отдать должное человеческой мысли и упорству, которые позволили предсказывать погоду на современном уровне!

Динамический хаос очень сложен и красив как теория, он порождает изумительные по элегантности образы, но может быть и полезен. Например, алгоритмы, с помощью которых генерируются случайные числа в компьютерах, тоже детерминированы. Для всех примеров в этой книге я применял генератор псевдослучайных чисел, который не использовал какой-нибудь реальный стохастический процесс (альфа-распад или подсчет машин на дороге), а вычислял следующее «случайное» число на базе предыдущих, полученных им ранее.