Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни
- Автор: Сергей Самойленко
- Жанр: Научно-популярная литература
- Дата выхода: 2022
- Цикл: Наука для всех
Читать книгу "Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни"
Новая экономическая политика
Вновь рассмотрим группу из
Пусть вас не смущает нереалистичная примитивность описанной нами модели. Ее достоинство в том, что она требует минимальной априорной информации и соответствует некоторой базовой системе. Если мы обнаружим какие-то закономерности на этой модели, то они проявятся и в более сложных моделях.
Разумно перед проведением эксперимента поразмыслить, что же мы ожидаем увидеть. Получение денег участниками происходит равновероятно, как в случае пуассоновской стратегии раздачи, но в то же время игроки и теряют деньги, причем по такому же пуассоновскому принципу и с той же интенсивностью. Если вместо одного шага мы будем рассматривать сразу сотню, то вместо фиксированного количества денег участники группы будут обмениваться какими-то случайными суммами. Из опыта с пуассоновской раздачей денег следует заключить, что как положительные, так и отрицательные приращения будут распределены практически нормально и расположены симметрично относительно нуля. Каждый игрок в итоге будет получать разность этих приращений, которая для двух нормально распределенных случайных величин будет тоже нормально распределена[39], в данном случае вокруг нуля, поскольку потери и выигрыши симметричны (рис. 9.4).
Рис. 9.4. После множества обменов каждый игрок получит и потеряет суммы, которые подчиняются распределению, близкому к нормальному. Суммарный доход также будет нормально распределен вокруг нуля
Таким образом, мы получаем классическое случайное блуждание с нормально распределенными приращениями. Нам уже знаком этот процесс, окрашивающий жизнь в темные и светлые полосы. Поведение множества случайно блуждающих частиц подобно диффузии: их плотность будет расплываться гауссовым колоколом вокруг неизменного среднего значения, увеличивая дисперсию пропорционально квадратному корню из числа обменов (времени). Вроде бы все просто. Если нет каких-то механизмов, сдерживающих эту диффузию, колокол расплывется по всей числовой оси. Таким же образом диффузия выравнивает неоднородности концентрации веществ в некотором замкнутом объеме или теплообмен распределяет температуру в изначально неравномерно нагретом стержне.
Но есть нюанс. Если по каким-то причинам у кого-либо из группы не осталось средств, он не сможет приобретать услуги, отдавая деньги, но по-прежнему может получать их. Возможное значение благосостояния ограничено слева нулем, а это значит, что диффузия богатства не сможет распространяться во все стороны бесконечно и наблюдаемая функция вероятности рано или поздно перестанет быть симметричной.
Есть еще один нюанс. Количество денег в нашей замкнутой системе ограничено и неизменно; это значит, что случайные блуждания не независимы. Какой-нибудь везучий игрок сможет получить очень большие суммы и уйти от ансамбля очень далеко, но только если общая масса настолько же обеднеет. Участников эксперимента стягивает невидимой сетью
Для любопытных читателей, которые захотят сами провести этот эксперимент, приведу алгоритм процесса перераспределения денег для фиксированного Δ
Рис. 9.5. Результат имитационного моделирования процесса перераспределения для фиксированного Δ
Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m.
Повторять для каждого i от 0 до n
· · · · если xs[i] > 0
· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n
xs[i] <- xs[i] — 1
· · · · · · · · xs[j] <- xs[j] + 1
Сначала действительно наблюдается явление, подобное диффузии, однако по мере достижения левой границы распределение искажается и начинает стремиться к характерной несимметричной форме. Если эту книгу читает физик, то он сможет уверенно предположить, что это может быть за распределение: он назовет его