Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Люди — молекулы

Распределение Гиббса — из области статистической физики. Здесь описываются свойства систем, называемых красивым словом «ансамбль», которые состоят из великого множества взаимодействующих элементов — чаще всего физических частиц. Под частицами понимаются такие объекты (или их модели), внутренняя структура которых несущественна: на первый план выходит взаимодействие между ними. В ансамбле можно выделять произвольные подсистемы (например, отдельные частицы или их группы) и ставить им в соответствие некие функции состояния (это могут быть обобщенные координаты, скорости, концентрации, химические потенциалы и многое другое). С помощью методов статистической физики удается объяснить и вычислить параметры самых разнообразных явлений: химических и каталитических процессов, турбулентности, ферромагнетизма, поведения жидких кристаллов, сверхтекучести и сверхпроводимости и т. д.

Нелишним тут будет повторить слова великого физика и блестящего лектора Ричарда Фейнмана.

Исходя из этой гипотезы, статистическая физика дает фундаментальное объяснение практически всему, что мы наблюдаем и измеряем в масштабах кристалла, человеческого тела или звезды.

В рамках этой науки распределение Гиббса отвечает на вопрос, какова вероятность встретить некое состояние подсистемы, если даны: а) энергия состояния; б) макроскопические (условно говоря, глобальные) свойства системы, например температура; в) известно, что система находится в термодинамическом равновесии. В последней фразе достаточно много терминов, не характерных для нашей книги: энергия, температура, равновесие… Но как в самом начале мы положились на интуитивное понимание вероятности, а потом дополнили его строгими определениями, так и сейчас я предполагаю, что читатель знаком с этими понятиями хотя бы из школьного курса физики. Чуть позже мы разберемся с тем, какое отношение все это имеет к нашим экономическим моделям.

Распределение Гиббса может быть схематично выражено следующей формулой:

где x — некое состояние подсистемы, E(x) — энергия этого состояния, Т — абсолютная температура системы (или ее аналог), а C и k — величины, необходимые для нормировки и соответствия размерностей. Очень важное условие равновесия означает, что из рассмотрения исчезает время и что вся система окажется в наиболее вероятном своем состоянии для заданных условий.

Строгий вывод выражения для распределения Гиббса нам здесь не нужен, вместо него я покажу красивейшее, чисто математическое рассуждение, приводящее к его экспоненциальной форме.

Поскольку рассматриваются части системы, которые в сумме дают всю систему, то и в качестве их характеристики стоит выбрать какую-нибудь аддитивную величину, играющую роль меры. Напомню, что значение аддитивной величины для ансамбля равно арифметической сумме значений этой величины для его частей. В качестве такой величины в механике можно использовать энергию. С другой стороны, мы вычисляем вероятность того, что будем наблюдать некоторое состояние системы. Если ее можно разбить на части, то вероятность наблюдать их все одновременно будет равна произведению вероятностей для состояния каждой из частей. Таким образом, нам нужна функция, превращающая аддитивную величину в мультипликативную:

Если отбросить тривиальное решение f(x) ≡ 0, то таким свойством обладает только показательная функция f(x) = a^x, которая сумму аргументов превращает в произведение значений: a^x+y = a^xa^y. Ну а из всех показательных функций наиболее удобна экспонента, поскольку она очень хорошо ведет себя при интегрировании и дифференцировании.

Насколько универсально распределение Гиббса? Напомню, что это распределение количества частиц по энергиям. Такое распределение можно получить, рассматривая тепловое движение молекул газа, а потом только из него можно вывести (не пронаблюдать в эксперименте, а получить математически) уравнение состояния идеального газа, знакомое со школы под названием уравнения Менделеева — Клапейрона. В твердом теле, например кристалле, к энергии движения частиц добавляется сила упругости (притягивания и отталкивания), но базовым распределением по полной энергии все равно останется распределение Гиббса. Если мы сосредоточимся на энергии частиц в поле силы тяжести, то вновь получим экспоненциальное распределение. На этот раз оно будет носить имя Людвига Больцмана, автора точного выражения для энтропии. Распределение Больцмана покажет нам, как изменяется плотность газа с высотой. Экспоненциальное распределение — как распределение с максимальной энтропией — база, с которой начинается исследование сложной физической системы.

Если быть совсем точным и вспомнить, что деньги в нашем эксперименте — величина дискретная, то мы наблюдаем геометрическое распределение — дискретный аналог экспоненциального. Эти два распределения подобны и сливаются при уменьшении вероятности выигрыша. В нашем эксперименте шансы получить рубль равны 1/5000; это настолько малая величина, что геометрическое и экспоненциальное распределения можно считать неотличимыми друг от друга.