Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Счастье — это найти друзей с тем же диагнозом, что и у тебя

А можно ли вообще ставить вопрос о соответствии какой-то норме, не пытаемся ли мы при этом оценивать и сравнивать? Вы спросите: что же в этом плохого? Мы все время кого-нибудь с кем-нибудь сравниваем, чаще всего себя с другими, но иногда позволяем себе оценить и кого-нибудь еще. Однако с точки зрения математики все не так просто. Чтобы сравнивать что-либо с чем-либо, нужно правильно определить отношение порядка или ввести метрику.

Определить отношение порядка — значит обозначить, что один элемент некоего множества в каком-то смысле предшествует другому. Этому мы научились еще в школе: 2 меньше 20, слон слабее кита, уговор дороже денег и т. п. Но вот вам ряд вопросов. Что идет раньше — понедельник или вторник? А воскресенье или понедельник? А какое воскресенье — то, что перед понедельником, или то, которое после субботы? А какое комплексное число больше: 2 + 3i или 3 + 2i? Мы можем назвать по порядку цвета радуги и даже ассоциировать все промежуточные цвета с вещественным числом — частотой света. Но кроме этих цветов существует множество неспектральных. Они образуют хорошо знакомое типографам и дизайнерам цветовое пространство, в котором каждый цвет имеет три «координаты». Так можно ли все видимые глазом цвета выстроить по порядку?

Эти примеры показывают, что с отношением порядка бывают трудности. Например, для отношения «один день недели наступает после другого» не работает свойство транзитивности (из того, что воскресенье наступает позже четверга, а четверг — позже понедельника, не следует, что воскресенье всегда наступает позже понедельника), так же как не транзитивно отношение «сильнее» в игре «камень-ножницы-бумага». Попытка ввести понятие больше / меньше на поле комплексных чисел не согласуется с арифметикой этих чисел, а цвета, которые можно параметризовать тремя «координатами» (тон, насыщенность, яркость), обладают обоими этими недостатками: и отсутствием транзитивности для тона — своеобразной «угловой» характеристики цвета, которая зациклена подобно дням недели; и существенной многомерностью. Даже на привычном нам множестве рациональных чисел отношение порядка хоть и определено, но не дает возможности указать наименьшее или наибольшее число на каком-либо открытом интервале.

Итак, мы видим, что отношение порядка вовсе не так просто, как мы привыкли думать, а главное — не универсально. Но мы все-таки можем сравнивать людей, книги, блюда, языки программирования и прочие объекты, имеющие множество параметров, пусть даже условно формализуемых? Можем, используя вместо сравнения другую концепцию — степень подобия объектов между собой, или метрику. Фильмы про Индиану Джонса ближе к «Пиратам Карибского моря», чем к комедиям Вуди Аллена или документалистике. Русский язык ближе к польскому, чем к немецкому, и совсем не похож на суахили. Числа 2+3i или 3+2i ближе друг к другу, чем к числу 100. Если мера обобщает размеры (длину, объем и т. д.), то метрика, введенная в математику Морисом Фреше в 1906 году, — это обобщение понятия «расстояние». Вот ее определение.

Пусть имеется произвольное множество X. Метрика — функция ρ, сопоставляющая любым двум элементам x и y множества вещественное число ρ(x,y) и при этом удовлетворяющая таким условиям:

1) ρ(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (аксиома тождества: расстояние между точками равно нулю, если эти точки совпадают);

2) ρ(x,y) = ρ(y,x) (аксиома симметрии: расстояние в обе стороны одинаково);

3) ρ(x,z) ≤ ρ(x,y) + ρ(y,z) (неравенство треугольника — аналог знакомого утверждения из курса геометрии: окружной путь не может быть короче прямого).

Множество X с введенной метрикой называется метрическим пространством. Из приведенных аксиом следует, что метрика — неотрицательная функция. Рассмотрим неравенство треугольника для случая x = z:

Понятие метрики позволяет вводить аналог расстояния (или степени близости) в совсем неочевидных случаях, например на бесконечномерном пространстве функций, между строками текста или изображениями; наконец, между распределениями случайных величин. Введение метрики не решает всех проблем, но в отсутствие внятной и корректной метрики легко увязнуть в бесконечном, бурном и бессмысленном споре, который в околокомпьютерной среде известен как «холивар» (от англ. holy war — священная война). Увы, жаркие споры возникают чаще всего уже на этапе выбора метрик, поскольку они сами образуют некое множество, на котором тоже нужно определять отношение порядка «лучше / хуже». Впрочем, можно предложить вполне осмысленный способ рассуждений о сравнимости многомерных объектов, например людей.

В многомерном пространстве параметров каждый объект может быть представлен вектором — набором чисел, определяющих значения критериев, которые его характеризуют. Рассматривая ансамбль векторов (например, человеческое общество), мы увидим, что какие-то из них окажутся сонаправлены или по крайней мере близки по направлениям; вот их-то уже вполне можно сравнивать по длине. В то же время какие-то векторы ортогональны (в геометрическом смысле — перпендикулярны, в более широком — независимы), и соответствующие им люди попросту друг другу непонятны: они по ряду параметров в сопряженных пространствах, как пресловутые физики и лирики. Нет смысла рассуждать о том, что хороший поэт в чем-то лучше либо хуже талантливого инженера или одаренного природой спортсмена. Единственное, о чём можно судить, — о длине вектора, то есть степени одаренности, расстоянии от среднего.

В связи с этим может возникнуть любопытный вопрос: а какая доля случайных векторов в пространстве заданной размерности будет сонаправленной, а какая ортогональной? Как много удастся найти единомышленников или хотя бы тех, с кем можно себя сравнить?

В двумерном мире каждому вектору соответствует одномерное пространство коллинеарных (сонаправленных) и одномерное пространство ортогональных векторов. Если мы рассмотрим «почти» сонаправленные и «почти» ортогональные векторы, то они образуют секторы одинаковой меры (неважно, площади или угла) при одинаковом выборе допустимого отклонения. Иначе говоря, похожих и непохожих объектов при рассмотрении двух критериев будет одинаковое количество (под количеством мы опять понимаем меру на множестве этих критериев, рис. 5.5).

В трехмерном мире картина поменяется. Сонаправленные векторы всё так же образуют одномерное пространство, а вот ортогональные уже заполняют плоскость, двумерное пространство. С точки зрения ортогональных векторов мера сонаправленных уже равна нулю, но все же позволим векторам немного отклониться от курса. Фиксируя их длину R и допуская небольшое отклонение от идеальных направлений на угол Δφ, можно количество почти сонаправленных векторов сопоставить с площадью круговых областей вокруг полюсов 2πR²Δφ², а число почти ортогональных — с площадью полосы вокруг экватора: 4πR²Δφ. Их отношение 2/Δφ растет неограниченно при уменьшении отклонения Δφ.

В четырехмерном мире ортогональные векторы образуют уже трехмерное пространство, тогда как сонаправленные всё еще лежат в одномерном, и разница в их количестве растет уже пропорционально квадрату отклонения от идеала. Но на этом этапе лучше обратиться к теории вероятностей и выяснить, каковы шансы получить ортогональные или сонаправленные векторы, взяв наугад два вектора из пространства размерности m. Об этом нам расскажет распределение углов между случайными векторами (рис. 5.6). К счастью, рассуждая о площадях многомерных сфер, распределение можно вычислить аналитически и даже представить в конечной форме:

Здесь Γ(x) — гамма-функция, обобщение факториала на вещественные (и даже комплексные) числа. Ее основное свойство: Γ(x + 1) = xΓ(x).

Рис. 5.6. Распределения углов случайных векторов в пространствах различных размерностей

Для двумерного пространства углы распределяются равномерно, для трехмерного — пропорционально синусоидальной функции. Свойства синуса приводят к тому, что плотность вероятности в нуле для m>2 в точности равна нулю. Это согласуется с нашими рассуждениями о том, что сонаправленные векторы образуют множества нулевой меры. Для всех размерностей выше двух мода распределения приходится на 90°, и доля взаимно ортогональных векторов увеличивается по мере роста числа параметров. Самое же главное наблюдение — сонаправленных векторов (имеющих угол около 0° или 180°) практически не остается при достаточно высокой размерности пространства. Если считать более или менее похожими (сонаправленными, сравнимыми) векторы, имеющие угол менее 30°, то при сравнении по двум критериям похожей на какой-то выделенный вектор окажется треть всех случайных векторов, а при увеличении размерности пространства на единицу доля сравнимых векторов будет уменьшаться практически вдвое. Таким образом, мы приходим к векторной формулировке закона арбузной корки:

Или эквивалентно: на вкус и цвет товарищей нет.