Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Где заканчивается свобода в математике?

Здесь стоит ненадолго остановиться. Мы уже достаточно подкованы в математике, чтобы не просто с умным видом поиздеваться над ошибкой журналистов и доверчивостью чиновников, а разобраться в том, что именно произошло. Речь в статье шла о долях, при этом использовались суммы величин, которые могут быть и отрицательными. Что же здесь не так? Ведь долю, то есть рациональное число, можно вычислить от величины любого знака. Здесь нам опять пригодится понятие меры.

Доли, или удельный вклад, имеет смысл вычислять от величины, относящейся к мерам — аддитивной и неотрицательной. Говоря в предыдущей главе о мере как функции над множествами, мы упоминали требование ее неотрицательности, но не заостряли на нем внимание. Само понятие меры появилось как расширение таких категорий, как количество, длина или объем, а эти величины, очевидно, не могут быть отрицательными. Но что случится с нашим определением, если мы разрешим мере быть отрицательной? Может, тем самым мы расширим это понятие и оно станет еще полезнее? Расширили же мы понятие вероятности, введя условную вероятность. Бытует мнение (особенно среди «практиков», инженеров и программистов), что математики изобретают аксиомы и изменяют определения по мере необходимости. Что это вопрос практичности, договоренностей либо даже вкуса. Нет, ребята, математика так не работает.

Приведу два примера, из которых станет ясно, что аксиомы не придумываются. В главе 1, рассматривая петли на наушниках, мы указали, что они образуют группу с операцией сложения, соответствующей нанизыванию их на одну веревку. Для любой группы должны выполняться четыре аксиомы: замкнутость операции группового сложения, ее ассоциативность, наличие единственного нуля (нейтрального элемента), наконец, наличие обратного элемента. А почему мы ничего не говорим о коммутативности сложения (о том, что a + b = b + a)? Легко убедиться в том, что для наших петель, как и для чисел, это свойство выполняется. Кроме того, мы сразу сказали, что ноль — нейтральный элемент, независимо от порядка сложения с ним: (0 + a = a + 0 = a). Раз это должно работать для нуля, почему это не может работать для всех элементов группы?

Дело в том, что коммутативность не вытекает из четырех аксиом группы. Легко найти некоммутативную группу, классическим примером будут движения на плоскости. Если рассмотреть два движения: поворот относительно некой опорной точки и смещение вдоль какого-то вектора, — то результат будет зависеть от порядка этих движений. Убедиться в этом легко, перемещая лист бумаги по поверхности стола. Почему же сложение с нулем должно быть коммутативно? Это требование ассоциативности, а именно выполнения равенства: (a + 0) + b = a + (0 + b). Если бы сложение с нулем зависело от того, справа или слева он находится, то ассоциативность перестала бы работать для всех элементов группы. Эти два свойства не могут идти по отдельности. В то же время добавление свойства коммутативности согласуется с определением группы и расширяет ее до так называемой абелевой группы. Я помню, как был сначала озадачен, а потом восхищен тем, что коммутативность сложения для чисел не вводится искусственно, а может быть выведена из базового определения операции сложения.

Приведу еще один пример, который, возможно, примирит кого-то с диктатурой в математике. Помните школьное правило: «на ноль делить нельзя»? А почему, кто это запретил? Кроме того, теперь мы достаточно грамотны, чтобы уточнить вопрос: что такое «ноль», на который нельзя делить? Тот ли, который оказывается нейтральным элементом при сложении, или речь о каком-то ином объекте? Сразу скажу: да, тот самый, поскольку он, по определению группы, единственный[19]. Более или менее искушенный в математике читатель скажет, что в пределах алгебраической структуры, которая называется полем чисел (рациональных или вещественных, именно их мы проходим в школе), не существует делителей нейтрального элемента по сложению, они просто не содержатся во множестве этих чисел. Можно добавить, что при умножении на ноль — как на поглощающий элемент для этой операции — мы полностью теряем информацию о втором множителе, подобно тому, как тень на стене не содержит полной информации о форме или цвете трехмерного объекта, отбрасывающего ее. Так что произвести операцию, обратную умножению, то есть деление, у нас в этом случае не получится.

Но можно ведь искусственно дополнить множество чисел специальными элементами — делителями нуля. Дополнили же когда-то множество рациональных чисел, привычных нам дробей, иррациональными, такими как √2, — чтобы можно было рассуждать о длине диагонали единичного квадрата или возведении в рациональные степени. Более того, в шестом классе, когда мы эти корни вводили, нас учили, что квадратный корень из отрицательного числа взять невозможно. Но потом, в десятом классе, множество вещественных чисел расширили до комплексных, дополнив его мнимой единицей. И вот, пожалуйста, невозможное стало возможным. Так в чем проблема с делением на ноль?

Дело в том, что и рациональные, и вещественные, и комплексные числа построены так, что все они образуют поля, при этом вся арифметика в них согласована. Но если искусственно ввести нетривиальные делители нуля, то получится иная арифметика, своеобразная и не согласующаяся с привычной нам со школы алгеброй полей. Алгебраическая структура, на которой определены сложение и умножение, а также своеобразное деление для всех элементов, включая ноль, называется колесом[20]. И деление в этой структуре определяется не как бинарная операция x/y, обратная умножению, а как унарный оператор /y, подобный y^–1. Таким образом, деление определяется как произведение x∙/y. Кроме того, алгебраическая система дополняется символами /0 и 0/0, которые иногда обозначаются как ∞ и ⊥. Они имеют особенные свойства и не равны ни одному другому элементу системы.

Непротиворечивая система аксиом колеса кроме коммутативности, ассоциативности сложения с умножением содержит следующие правила:

Из этих аксиом неизбежно следует, что в общем случае:

Увы, групповые свойства сложения в такой системе нарушаются, поскольку не для всех элементов x выполняется тождество x + 0 = x.

Так что «просто добавить» делители нуля и обратный ему элемент не получится, нужно перестраивать всю систему ради ее непротиворечивости. Подобные трудности возникнут и при попытке искусственно ввести вторую мнимую единицу: согласованную алгебру с двумя единицами создать не получится, а вот с тремя все работает. Так строится кольцо кватернионов. Они широко используются для моделирования вращений в трехмерном пространстве, например в компьютерных играх и симуляциях реальности. Увеличивая число дополнительных мнимых единиц, мы в следующий раз получим «хорошую» самосогласованную алгебру, когда их будет семь; она называется алгеброй октонионов. На нее возлагаются надежды как на способ соединить квантовую теорию и гравитацию, получив «священный Грааль» физики: Теорию Всего. А больше можно? Формально да: при 15 дополнительных единицах строится алгебра седенионов. И — о чудо! — в алгебре седенионов уже есть нетривиальные делители нуля, но сама она, похоже, теряет ценность как алгебраическая система! Так что мы не можем просто придумать что-то новое в математике, если оно как-то не согласуется с существующими, повсеместно используемыми понятиями. Допустимо построить непротиворечивую систему, изучить ее свойства и пользоваться ими для моделирования либо реального мира, либо других систем.

Вернемся к мере. Ее неотрицательность необходима, иначе можно нарушить третье из свойств мер, перечисленных выше: «Мера подмножества не превышает меры множества» (вклад штата Калифорния превысил общий рост по всей стране). Кроме того, при этом теряется польза от аддитивности и становится затруднительно вычислить меру для объединения подмножеств; таким образом, само это понятие теряет свою полезность. Число рабочих мест — полноценная мера (как количественная характеристика конечного множества), а вот рост числа рабочих мест — нет, это уже изменение меры.

Может возникнуть вопрос: а каков же на самом деле был вклад правительства штата Висконсин в борьбу с безработицей? Он имеет смысл, поскольку если бы не было этого вклада, то общий результат по стране был бы заметно меньшим. Корректно ответить несложно. Мы можем рассматривать как меру отдельно положительные и отрицательные вклады и таким образом говорить о том, что Висконсин предоставил 27 % от общего числа новых рабочих мест (результат простого суммирования всех новых работников по стране). В свою очередь, из всех новых безработных 23 % пришлось на жителей штата Миссури.