Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Экономика должна быть экономной

Пока наша модель обмена никак не учитывает достатка игроков, она остается нереалистичной. В действительности богатые тратят больше, а бедные меньше; более того, разумные люди стараются сохранить какую-то часть своего состояния. В качестве следующего усложнения модели потребуем, чтобы игроки в процессе перераспределения отдавали некую известную долю своего состояния Δm = [αm], где 0<α<1. При этом дробные денежные единицы округляются до ближайшего целого вниз (это значит, что если αm окажется меньше единицы, то Δm = 0). Иными словами, добавим нашим участникам желание быть экономными.

В систему вводятся новый параметр и новое ограничение; следовательно, равновесное состояние должно как-то отклониться от экспоненциального. Оперируя долями от уровня благосостояния, мы переходим к мультипликативным характеристикам, таким, например, как доходность вложения, возврат инвестиций и т. д. Во всех учебниках по экономике указывается, что если вы желаете вычислить среднюю доходность вложения, скажем, за много лет, то следует определять среднее геометрическое для доходностей каждого года. В нашем случае среднее геометрическое однозначно, хоть и нетривиально, определяется значением α. Таким образом, добавляя новый параметр, мы фиксируем среднее геометрическое распределения дохода игроков, или среднюю доходность модели рынка. Значит, согласно таблице распределений с максимальной энтропией, мы можем ожидать, что равновесное распределение богатства должно неплохо описываться гамма-распределением. В этом мы можем убедиться, проведя имитационное моделирование (рис. 9.10).

Рис. 9.10. Если расходы при обмене пропорциональны достатку, равновесное распределение стремится к характерному несимметричному колоколообразному гамма-распределению. В данной модели α = 1/3

Для имитационного моделирования был реализован такой алгоритм пропорционального обмена.

Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m, alpha — доля капитала, которая тратится при обмене.

Повторять

· · · · i <- случайное целое от 0 до n

если xs[i] > 0

· · · · · · · · dx <- floor(xs[i]*alpha)

xs[i] <- xs[i] — dx

· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n

xs[j] <- xs[j] + dx

Эта книга — хоть и популярная, но все же математическая. Это значит, что все результаты, попавшие на ее страницы, имеют доказательства или строгий вывод, пусть зачастую и остающиеся за пределами изложения в силу их громоздкости. И хотя для дальнейшего изложения этот результат не нужен, я приведу точное и довольно изящное выражение для распределения, которое мне удалось получить для модели пропорционального обмена.

Гамма-распределение Gamma(k,θ) — двухпараметрическое распределение, которое часто используется как обобщение экспоненциального и сводится к нему при k = 1. Оно имеет ряд замечательных свойств, делающих его полезным. Об одном из них мы уже говорили — это распределение с максимальной энтропией в своем классе. Другое важное свойство — его бесконечная делимость и связанная с этим устойчивость. Случайная величина называется бесконечно делимой, если для любого числа n≥1 ее можно представить в виде суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин. А если эти слагаемые имеют то же распределение, что и исходная случайная величина, последняя называется устойчивой. Яркий пример устойчивого распределения — нормальное. И именно это его свойство вместе с тем, что оно является распределением с максимальной энтропией в самом широком классе распределений, делает его героем центральной предельной теоремы.

Но вернемся к гамма-распределению. Для него верно, что:

Наконец, гамма-распределение масштабируемо:

Все эти свойства позволили получить распределение благосостояния для нашей модели со средним значением m и коэффициентом α в таком виде:

В модели обмена фиксированной суммой вероятность потерять все деньги была достаточно велика. В модели пропорционального обмена она оказывается равна нулю. Это связано с тем, что бедные тратят в среднем меньше, чем получают от богатых, ведь и те и другие обмениваются долями своего капитала. Но этот социальный лифт действует только при α < 1/2. Если тратить больше половины того, что имеешь, вероятность оказаться в бедняках становится не просто отличной от нуля, а весьма ощутимой. Для различных значений можно получить различающиеся по форме распределения с широким диапазоном несправедливости (рис. 9.11).

Рис. 9.11. Различные варианты равновесных распределений при расходах, пропорциональных достатку. Графики помечены значениями α, на правом графике в скобках приведены еще и значения индекса Джини

Получается, что чем большую часть своего капитала игроки вынуждены тратить (например, на повседневные нужды или еду), тем больше становится доля бедных и тем менее справедливым оказывается общество. Любопытно, что при α = 1/2 равновесное распределение становится экспоненциальным, как в модели при равном обмене. Напомню, что экспоненциальное распределение — частный случай гамма-распределения с параметром k = 1, так что это превращение само по себе неудивительно. Но тут есть одна любопытная тонкость: энтропия этого частного случая превышает энтропию распределений с любыми другими значениями α. Посмотрите, как изменяется энтропия по мере развития ситуации при α = 0,75 (рис. 9.12).

Рис. 9.12. В процессе перехода к равновесию система «проскакивает» состояние с максимальной энтропией

Поначалу значение энтропии монотонно увеличивается; потом, практически достигнув теоретического максимума, соответствующего экспоненциальному распределению, рост энтропии останавливается, и она начинает уменьшаться. Нет ли в этом противоречия с определением равновесного состояния как состояния с максимумом энтропии? Противоречия нет, поскольку равновесное состояние должно быть, во-первых, стационарным, не создающим направленных потоков энергии, а во-вторых, устойчивым или, говоря языком теории динамических систем, притягивающим к себе систему. В конце концов, среди всех стационарных состояний равновесным будет состояние с максимальной энтропией. А в нашем случае при α = 0,75 экспоненциальное распределение соответствует нестационарному состоянию.

Исследователи из Бостонского университета Слава Исполатов и Павел Крапивский[42] усложнили модель пропорционального обмена так, чтобы обмен происходил с учетом благосостояния не только тратящего, но и получающего. Миллионер редко покупает что-то у зеленщика, и зеленщик нечасто имеет большой доход; с другой стороны, производитель автомобилей экстра-класса будет взаимодействовать лишь с богатыми клиентами, но и сам не останется внакладе. Алгоритм такого обмена остается достаточно простым.

Исходные данные: xs — массив из n элементов, инициализированный значениями m, alpha — доля капитала, которая тратится при обмене, beta — доля капитала, приобретаемого при обмене.

Повторять

· · · · i <- случайное целое от 0 до n

если xs[i] > 0

· · · · · · · · dx <- floor(xs[i]*alpha)

xs[i] <- xs[i] — dx

· · · · повторять, пока dx > 0

· · · · · · · · j <- случайное целое от 0 до n

d = min(dx, floor(xs[j]*beta))

· · · · · · · · xs[j] <- xs[j] + d

dx <- dx — d

И вот в моделях, в которых богатые начинают платить преимущественно богатым, а бедные — бедным, общество «разваливается» окончательно. Если денежные потоки оказываются зависимы от капитала, система теряет устойчивость и приводит к постоянному обнищанию группы и все большему нарастанию классового неравенства. В ней существует только одно стационарное состояние: когда все игроки не имеют (и, следовательно, не получают) ровным счетом ничего, а все богатство достается кому-нибудь одному. Коэффициент Джини в таком состоянии практически равен единице, и оно очень далеко от нормального равновесного — его энтропия почти равна нулю. Спасти положение можно различными способами. Например, ввести ограничение снизу, запрещающее игрокам терять абсолютно все сбережения, и в этом случае равновесное распределение становится снова экспоненциальным либо гамма-распределением. Или организовать подобие налогообложения, обеспечивающее стабильный поток средств от богатых ко всем, в том числе бедным. Модель «дикого рынка» вполне применима к рынку ценных бумаг без каких-либо ограничений, но на реальных биржах с этим борются, вводя ограничения на объем сделок, совершаемых за день, и на максимальные уровни роста или падения цены на тот или иной актив.* * *

Все эти печальные выводы говорят не в пользу свободного рынка. То ли дело модель, предложенная Шариковым! А какова же энтропия у вырожденного распределения? Согласно стандартной формуле, она в точности равна нулю. Это самое неравновесное, самое маловероятное распределение, и в любой модели обмена оно нестационарно, так что получить подобное общество можно только искусственно. Дикий рынок, конечно, не подарок: он неустойчив и тяготеет к вопиющему неравенству. Требуется множество взаимосогласованных ограничений и тонко настроенных связей для построения устойчивого рынка и более или менее справедливого общества. Человечество исследует этот вопрос еще не очень долго и в основном на ощупь, методом проб и ошибок, но одно ясно: несправедливость в экономическом пространстве — не следствие поганой человеческой натуры, а объективное свойство системы, в которую входим все мы. Более того, попытки создать абсолютную справедливость по-шариковски всегда проходили с боем и кровью, а результаты, в силу ее неравновесности, существовали недолго.

Вряд ли молекулы и атомы рассуждают о несправедливости своего мира, да и физики с инженерами за двести лет смирились с тем, что, какую бы идеальную тепловую машину они ни построили, хаос не позволит полностью преобразовать тепло в механическую работу. Когда понятно, то не так обидно. Надеюсь, эта глава поможет читателю понять и принять свойства нашего сложного и несправедливого мира. Принять не смирившись, а оттолкнувшись от них как от условия задачи, и постараться найти такие решения, которые помогли бы уменьшить эту несправедливость. На то нам и дан разум!