Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Ценность релаксации

Наши модельные судьбы мы описали очень примечательным процессом. Он называется одномерным случайным блужданием и имеет ряд необычных свойств, среди которых — самоподобие, то есть отсутствие какого-либо характерного временного масштаба. Получив в свое распоряжение неограниченное время, случайное блуждание способно увести неограниченно далеко. Более того, оно обязательно уведет вас на любое наперед заданное расстояние от начального значения! Таким образом, как бы хорошо ни шли ваши дела, но если они подчинены случайному блужданию, то обязательно скатятся до нуля и уйдут ниже — это просто вопрос времени! Правда, если речь о существенных отклонениях, то очень большого времени. Можно показать, что в рассмотренном нами процессе ожидаемая величина отклонения от начального состояния пропорциональна квадратному корню от времени. Это значит, что ожидаемое время, за которое система, отклонившаяся от нуля, вновь вернется в нулевое состояние, пропорционально квадрату начального отклонения.

Помните, как говорил кот Матроскин в известном мультфильме «Каникулы в Простоквашино»: «Я и так счастливый был, а теперь в два раза счастливей стану. Потому что у меня две коровы есть!» Таким образом, можно предположить, что рождение теленка (появление второй коровы) продлит счастье Матроскина в четыре раза.

Но все же идеальная эмоциональная память — это не очень хорошо. Наши герои не забывают ничего и тщательно хранят в памяти всё, даже самые давние события! На их настроение в старости влияет горе от поломанной игрушки в детстве или радость от поцелуя в юности. Причем все последующие поцелуи и игрушки имеют для них такую же важность. Надо этих бедолаг спасать. Эмоции со временем стихают, горе притупляется, радость, увы, тоже. Забывание во многом подобно остыванию, диффузии или замедлению движения в вязкой жидкости, поэтому разумно смоделировать его подобным образом. Перечисленные события относятся к процессам релаксации, о которых мы говорили в конце главы 2. Наделим же и наших героев способностью к релаксации!

Релаксирующая система возвращается к равновесному состоянию, причем тем быстрее, чем больше отклонение от равновесия. Это свойство можно смоделировать геометрической прогрессией или экспоненциальным законом. Введем в нашу модель новый параметр — скорость забывания μ. Его можно выразить через время (в отсчетах нашей модели), за которое уровень эмоции уменьшится достаточно сильно. Например, для μ = 1/60 эмоциональный след от события уменьшится на порядок через два месяца. И вот теперь жизнь стала по-хорошему «полосатой» (рис. 6.6)!

Рис. 6.6. Ограничение памяти приводит к тому, что череда событий и их следов в памяти, сливаясь, образует череду эмоционально окрашенных полос

Меняя «степень забывчивости», мы можем получить более или менее эмоционально уравновешенных подопытных. Кажется, мы нашли источник зеброобразности! Это, во-первых, случайные блуждания, склонные к расползанию во все стороны; во-вторых, целительная забывчивость, возвращающая настроение в норму. Результатом становится волнообразное меандрирование[24] настроения.

Изучим свойства полученных нами «синтетических» житейских полос. Построим гистограмму, показывающую распределение их длительностей для длиннющей жизни (или множества обычных) с параметрами λ=1/7, μ=1/60 (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Распределение длительностей периодов счастья и горя для большого числа синтетических судеб. Вертикальной линией отмечено среднее значение, равное 33

Первое, что бросается в глаза, — максимум распределения (мода) находится вблизи нуля. Значит, чаще всего времена счастья и несчастья очень коротки, однако встречаются и периоды длительностью более года. В среднем же их продолжительность составляет 33 дня со стандартным отклонением в 36 дней. Это распределение близко к экспоненциальному (на самом деле оно неплохо описывается более общим гамма-распределением с такими параметрами, которые приближают его к экспоненциальному). В свою очередь, экспоненциальное распределение длительностей полос в жизни означает, что смены настроений можно рассматривать как пуассоновский поток — цепочку независимых случайных событий, не имеющих определенной частоты, но случающихся с некоторой известной интенсивностью. Например, в рассмотренном нами примере темные и светлые полосы сменяются с интенсивностью раз в 33 дня, но гораздо чаще в жизни наблюдаются короткие периоды: половина их не дольше десяти дней.

В случае отсутствия «памяти» (для μ = 0) распределение перестает быть экспоненциально убывающим и описывается распределением Юла, которое можно приблизить степенным распределением (распределением Парето) для длительности меандров T (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Распределение длительностей меандров для случайного блуждания имеет характер степенного. Двойной логарифмический масштаб графика позволяет распознать степенную зависимость

Статистики говорят, что у таких распределений тяжелый хвост, делающий вполне вероятными очень большие отклонения от среднего значения. Мы наблюдали их в виде долгих «погружений» в то или иное настроение. У полученного распределения есть одно непривычное и странное свойство: для него не определены ни среднее значение (математическое ожидание), ни стандартное отклонение. В предыдущей главе мы уже упоминали, что такое бывает, например, у распределения Коши. Дело в том, что все соответствующие интегралы для распределения Юла расходятся. В связи с этим можно слышать, что и среднее значение в таком случае бесконечно, но это не так. Посмотрите, что произойдет при попытке вычислить математическое ожидание длительности меандров случайного блуждания (рис. 6.9).

Рис. 6.9. Попытка вычислить среднее значение для последовательности длительностей периодов между сменами настроения при отсутствии памяти. Появляющиеся экстремальные значения из тяжелого хвоста распределения приводят к тому, что значение среднего не сходится к какому-либо пределу

Огромные скачки из тяжелого хвоста то и дело сбивают значение среднего, и последовательность усреднений не сходится ни к какому пределу. Значение среднего вовсе не бесконечно, но интеграл не сходится и о каком-то конкретном значении говорить нельзя. Именно в невозможности вычислить среднее для длительности меандров отражается свойство самоподобия случайного блуждания, или отсутствие собственного масштаба времени.

Мы моделировали приспосабливаемость к житейским неурядицам с помощью релаксации — затухания эмоциональных всплесков. Можно истолковать этот процесс иначе — как приспосабливаемость человека к жизненным обстоятельствам. При обработке зашумленных сигналов или последовательностей часто для сглаживания и выделения полезного сигнала используют метод скользящего среднего, рассматривая в каждый момент не сам сигнал, а усредненное его значение за некоторый промежуток времени. Так удается избавиться от шума и получить представление о долговременных тенденциях сигнала. Применяя такое усреднение к житейским неурядицам, мы можем моделировать приспосабливаемость человека. Люди влюбляются и находят повод для радости даже во время войн, а жизнь богатых бездельников не безоблачна. Смещается локальное представление о норме (привычном состоянии дел), от которой настроение отклоняется в ту или иную сторону. Рассматривая разницу между последовательностью эмоций и сглаженной линией фона, мы получим такую же картину полос, какую дала предыдущая модель, с теми же статистическими характеристиками. Это неудивительно, ведь концептуально они практически не различаются, описывая систему с релаксацией (рис. 6.10).

Рис. 6.10. Меандрирование и смену настроений можно получить, моделируя скользящим средним приспосабливаемость человека к обстоятельствам

Какие выводы можно сделать из нашего несерьезного исследования? Череда светлых и темных полос в жизни не иллюзия, они существуют на самом деле. Но в них нет особенных закономерностей. Чаще всего они коротки, но бывают и затяжными. Все зависит от легкости характера и способности отпускать прошлое. Более того, если события будут происходить редко, то жизнь станет серой чередой исчезающих в прошлом воспоминаний. Так что в наших интересах запоминать прожитое и в наших силах сделать так, чтобы жизнь не становилась случайным блужданием. Мы можем добиться того, чтобы хороших событий становилось больше и происходили они почаще, пусть даже они окажутся и незначительными.

Лыжная прогулка, искренняя улыбка прохожего, билет на концерт, чашка горячего шоколада в холодный день — все это поможет создать положительный тренд и продлит светлую полосу в жизни. Правда, неизбежные грустные события обязательно сменят настроение. Но не надо винить в этом свое счастье. Это не расплата за него и не сглаз. Это свойство релаксирующих систем — склонность к колебаниям при стохастическом внешнем воздействии.