Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Еще немного анализа размерностей

Какой бы несерьезной ни была тема нашей книги, мы говорим на языке математики, а он стремится к точным решениям. Можно встретить даже такую фразу: «Если для решения вам понадобился только компьютер, то это еще не математика». Метод Монте-Карло позволил нам получить представление о решении, но это то, что называется грубой силой. Это совсем не так интересно, как хоть какое-то, но аналитическое решение.

Анализ размерностей позволит нам построить теоретический вид зависимости, полученной методом Монте-Карло. Для этого не понадобится решать дифференциальные уравнения; более того, рассуждения не выйдут за пределы вполне примитивных и очевидных соотношений. В том и состоит очарование анализа размерностей — который, впрочем, иногда выглядит фокусничеством. Итак, приступим, ограничиваясь для простоты соскальзыванием бутерброда длины l со стола высоты H с нулевой горизонтальной скоростью.

1. Угол поворота падающего бутерброда зависит от времени и угловой скорости:

2. Угловая скорость равна произведению времени соскальзывания и углового ускорения:

3. Время соскальзывания можно выразить через ускорение свободного падения и часть длины бутерброда, которая соприкасалась со столом, следующей пропорцией:

где l₀ — длина части бутерброда, лежавшей на столе. Здесь мы используем отношение пропорциональности, обозначенное знаком ∝. Выражение y∝x можно переписать как y = Cx, где C — некая неизвестная константа. Я очень люблю это отношение. Пропорциональность «вбирает в себя» все сложное, что превращается в константу: и то, что при повороте меняется момент силы тяжести, и то, что при соскальзывании перемещается центр вращения. Все это, конечно, нужно знать для точного расчета, но в результате получится только безразмерный коэффициент, а в нашем анализе он не играет роли. Одним значком мы избавили себя от утомительного интегрирования.

1. Угловое ускорение происходит от ускорения силы тяжести и зависит от плеча, к которому она прилагается:

И опять знак ∝ позволил нам не вычислять момент инерции пластины для оси, лежащей в ее плоскости, а также изменяющейся проекции силы тяжести (это еще два интеграла).

2. Наконец, время падения зависит от высоты стола и ускорения свободного падения:

3. Подставляя все эти выражения в первую формулу, получаем результат:

который, если измерять все длины в бутербродах, превращается в

Здесь l₀ = xl и H = hl. Что ж, все сходится: угол — величина безразмерная, и зависит она от безразмерных коэффициентов — но не от масштаба времени. Остается чистая геометрия. Знаменатель не опасен — при x > 0,5 бутерброд не упадет вовсе (мы рассматриваем нулевую горизонтальную скорость), так что 0 < x < 0,5.

То, какой стороной упадет бутерброд, определяется знаком синуса угла φ, то есть функцией sign(sinφ). Она возвращает –1 для случая «маслом вверх» и 1 для «маслом вниз». Мы можем использовать эту функцию для выражения вероятности падения детерминистического бутерброда, если приведем ее к диапазону от 0 до 1:

где стрелочка в индексе символически означает ориентацию масла. Коэффициент C, появившийся в формуле вероятности, выражает все то, что осталось спрятанным, с помощью знака пропорциональности. Это действительно очень хитрый ход, он избавил нас от утомительного интегрирования (и даже трех). Но как же нам теперь узнать, чему равен этот коэффициент? Из эксперимента. Причем достаточно одного испытания с измерением угла в момент падения, чтобы получить оценку этого значения! С помощью симулятора я легко выяснил, что C = 2,3.

Мы получили устрашающее двухпараметрическое распределение. Что же с ним теперь делать? Нас интересует вероятность того, что бутерброд упадет маслом вниз, если x будет равно 0,2; или 0,4; или любому числу от 0 до 0,5. Мы использовали союз «или», при этом каждый случай рассматривается как независимый и исключающий все прочие при проведении конкретного эксперимента. Вспомним, что вероятность — мера вероятностного пространства, а раз так, то она аддитивна. Это позволяет нам просто сложить вероятности P_↓(x,h) для всех значений x, умножив их предварительно на вероятность попадания в конкретный диапазон значений. Разобьем отрезок от 0 до 0,5 на n частей и вычислим оценку вероятности в виде суммы:

Здесь множитель 2/n выражает вероятность для случайной величины x попасть в отрезок ширины 1/n. Вот как выглядят результаты для значительного числа разбиений (n = 100) на фоне серии численных экспериментов с нулевой горизонтальной скоростью (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Теоретическая и экспериментальная оценка вероятности приземления бутерброда маслом вниз при падении с большой высоты. Начальная горизонтальная скорость в экспериментах равна нулю

Решение, которое мы приводили до этого, содержит больше случайных параметров, поэтому оно оказалось более сглаженным и приближенным к 50 %, но в принципе подобный анализ можно провести и для более общего случая.

Обратите внимание на то, что вероятность P_↓ при увеличении h стремится к значениям, близким к 50 %. И это происходит вовсе не из-за неопределенности и влияния начальных ошибок. Вычисления показали, что это результат сложения множества гармоник, образуемых значениями x при суммировании P_↓(x,h). Если мы забудем про несчастный бутерброд и продолжим график P_↓, то увидим, что оценка вероятности так и продолжит колебаться вблизи 50 %, постепенно стремясь к этому значению.

А можно ли выяснить без прямых вычислений, будет ли вероятность продолжать сходиться к 50 % или когда-нибудь снова станет расти? И здесь тоже есть место нетривиальной и глубокой математике. Дело в том, что каждому значению x соответствует определенная частота колебаний[13], а весь набор формирует так называемый спектр суммарной функции. Если он дискретный, то есть состоит из отдельных частот, суммарная функция (она называется Фурье-образом) будет периодичной. Непрерывному спектру в виде константы на отрезке от 0 до 0,5 будет соответствовать апериодичная функция, похожая на убывающие колебания. Но это мы заглянули в другой большой и важный раздел математики — функциональный анализ. Больше он нам не понадобится, так что если вас напугал этот абзац, не переживайте. Его смысл выразим одной фразой: можно строго показать, что при падении бутерброда с большой высоты вам не удастся угадать, упадет он маслом вверх или вниз.

Великий итальянец Энрико Ферми, «дедушка» метода Монте-Карло (отцом считается польский математик Станислав Улам), приучал своих учеников проводить простые оценочные вычисления, прикидывать на клочке бумаги или на пальцах, что мы ожидаем получить, прежде чем приступать к точному решению задачи. Примечателен такой момент: если оценка окажется верной, станет понятно, что суть проблемы ухвачена; если же нет, то это тем более полезный результат — значит, задача оказалась интереснее, чем кажется!

В нашем случае простой оценки достаточно, задача о бутерброде не стоит более тщательного решения. Метод Монте-Карло продемонстрировал нам только наметки решения, анализ размерности очертил лишь некоторую его общую структуру, но вместе они смогли показать нам, как устроена искомая вероятность. В повседневной работе эрудиция позволяет математику видеть в подобных наметках решения готовые структуры, выбирать подходящие методы и делать далеко идущие предположения и выводы.

Роберт Мэтьюз в своем эпохальном исследовании тоже использовал анализ размерностей, чтобы показать, что закон бутерброда фундаментален. Его вывод основан на том, что предельная высота организма, вставшего на задние конечности с целью передними взять бутерброд с маслом, определяется прочностными свойствами биологических тканей и гравитацией. В свою очередь, характерный размер бутерброда должен соответствовать масштабу существа — и коренастые карлики на какой-нибудь тяжелой планете, и хрупкие дылды на планете с малой гравитацией будут выбирать себе бутерброды по размеру. Тут мы подходим к тому, что в науке называется спекуляцией. Это не перепродажа всякого добра втридорога, а сомнительные предположения, ложащиеся в основание логического построения. В частности, мы предполагаем наличие у существ рук, пропорции которых сходны с нашими, а это более чем спорно.