Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

От монеток к бабочкам и самой судьбе

Наблюдения за тем, как малые отклонения вырастают в глобальные изменения системы, приводят к мысли об «эффекте бабочки». Напомню, что под ним подразумевается цепочка далеко идущих драматичных последствий от некоторого незначительного, на первый взгляд, события. Раздавленная исследователями прошлого бабочка в рассказе Рэя Брэдбери «И грянул гром» привела к кардинальной перестройке будущего. А одну из своих лекций Эдвард Лоренц, создатель теории динамического хаоса, озаглавил так: «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?».

На этот эффект мы неявно ссылаемся, сетуя: «Не поверни я за угол, все было бы иначе!», «Не сел бы он в этот поезд, с ним не случилось бы катастрофы!» или «Из-за такой мелочи разругались и разошлись!» Но мы видим, что сосуществуют истинно стохастический квантовый мир и сверхточные атомные часы, устойчивые гамильтоновы системы в мире звезд и галактик и хаос колец Сатурна или пояса Койпера, тепловое движение молекул и удивительная точность работы биологических систем или механизмов автомобиля. Нет, взмах крыла бабочки не рождает ураганов, а бесследно исчезает, порождая цепочку вихрей, передающих энергию и информацию все более и более мелким вихрям, пока и энергия, и информация не исчезнут в хаосе флуктуаций. Надо четко понимать, что малые отклонения приводят к кардинальной перестройке системы только в случае, если она неустойчива либо находится на пороге бифуркации, или катастрофы, — так на языке математики называются глобальные перестройки в поведении системы при малых непрерывных изменениях параметров. Бифуркации всегда образуют множества нулевой меры в пространстве параметров — это точки или границы. Малые возмущения не приводят к катастрофам почти всюду (это тоже точный термин, означающий «везде, кроме множества нулевой меры»), а неустойчивые состояния в природе наблюдаются редко, не проходя «проверку временем».

Если пара молодых людей распалась «из-за ерунды», ей суждено было разойтись в любом случае, она была неустойчивой. Устойчивые пары проходят войны и голод, а потом, бывает, и распадаются, но не из-за мелочей, а в результате глубоких перемен, которые могут произойти с личностью в течение жизни. В цепочке событий, приведших к катастрофе поезда, нелегко однозначно выделить ключевое, конкретную ошибку или роковую случайность. Скорее всего, ключевым будет не событие, а систематическое нарушение правил, приводящее систему к неустойчивому состоянию. Если в системе множество параметров и ряд из них случаен (а наша жизнь устроена именно так), то информация в ней имеет свойство теряться и уже никак не удастся восстановить, в какой именно момент в нашей жизни «все пошло не так». Мы поговорим о роли памяти в случайных процессах через две главы. Не терзайте себя сожалениями о случившемся, а присмотритесь к происходящему сейчас, чтобы не пропустить настоящей точки бифуркации.

В связи с этим можно вспомнить один из законов мерфологии, который некий Дрейзен назвал законом восстановления:

В качестве примера приводится следующее наблюдение: на склеивание вазы уходит больше времени, чем на то, чтобы ее разбить. Этот закон удивительно точно описывает соотношение между характерными скоростями для процесса релаксации устойчивой системы, которую можно описать убывающим экспоненциальным законом e^—λt и скоростью развития катастрофического процесса в неустойчивой системе, в линейном приближении — экспоненциального роста малого возмущения e^λt. Эти скорости действительно обратно пропорциональны друг другу.

В примере с вазой процесс склеивания — не релаксация, не переход к наиболее вероятному состоянию. Он ближе к другому процессу — самоорганизации, — который в первом приближении описывается логистическим законом и ближе по скорости к релаксации, чем к катастрофе (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Типичные нестационарные процессы: катастрофа, релаксация и самоорганизация, — имеющие одинаковое характерное время * * *

Иногда, гуляя в снегопад, я удивляюсь тому, что снежинка падает мне на нос. Удивляюсь оттого, что вероятность этого события ничтожно мала. Если рассудить, снежинка родилась высоко в небе над Тихим океаном, кружилась в беспорядочных турбулентных потоках в облаке, падала, непрерывно меняя направление движения… чтобы попасть на кончик моего носа на Камчатке! А какой ошеломительный путь прошли фотоны от далекой звезды?! Десятки тысяч лет они неслись сквозь Вселенную, их не поглотила пыль, им не встретился астероид! Родились они в бушующем квантовом мире далекой звезды, а закончили свой путь в квантовом мире белка опсина на сетчатке в моем глазу. Даже считать вероятность этого события нет смысла, она исчезающе мала. Но событие случается, и я вижу мерцающий свет звезды. Теперь понятно: это все потому, что площадь моего носа и даже молекулы опсина имеют ненулевую меру. Но все равно удивительно: то, что почти наверняка не должно было произойти, все же происходит!

О роли предопределенности или случайности в нашей судьбе, об истинности или призрачности нашего знания о природе пусть спорят философы. Я же призываю читателя взглянуть на мир с высоты математических абстракций и восхититься его красотой и согласованностью.