Выборы строгого режима: Как российские выборы стали невыборами, и что с этим делать?

Аномалии статистики российских выборов и оценка фальсификаций

С учетом изложенных выше общих соображений о применимости методов статистики к анализу выборов перейдем к анализу конкретной российской электоральной действительности. Помимо общих математических и статистических соображений, этот анализ в существенной степени опирается на конкретные особенности российской выборной системы и доступные данные, а также на опыт и знания, накопленные за постсоветский период специалистами по анализу выборов, наблюдателями, независимыми членами избирательных комиссий и видеонаблюдателями.

Доступные нам данные выборов являются существенно многомерными: по каждому избирательному участку есть данные о количестве зарегистрированных избирателей, количестве проголосовавших за каждого кандидата, количестве недействительных бюллетеней, данные о динамике явки в течение дня голосования. Также каждый участок вписан в окружение соседних (пространственный контекст), имеет историю предшествующих и проходящих параллельно выборов (исторический контекст) и т. д. Такая многомерность, с одной стороны, облегчает выявление возможных аномалий, с другой — создает необходимость первичной обработки и наглядного представления этих данных, которые позволили бы получить общий обзор картины голосования до анализа деталей. В нашем анализе в качестве такого наглядного представления мы используем две «проекции» данных по избирательным участкам, представленные на диаграмме с двумя панелями. Пример такой диаграммы для данных голосования по поправкам в Конституцию Российской Федерации приведен на рис. I (см. далее).

В правой панели представлена диаграмма рассеяния избирательных участков в координатах «явка на участке — результаты кандидатов». Каждому участку соответствует столько точек, сколько имеется кандидатов (в данном случае «кандидатов» три — «Да», «Нет» и недействительный бюллетень). Выбор этих координат неслучаен: оба эти параметра являются важными для отчетности и потому могут служить важным индикатором применения админресурса. В левой панели показаны распределения голосов за кандидатов по 1 %-ным интервалам итоговой явки на избирательных участках; отдельно штриховкой показано отличие формы распределения голосов за административно поддерживаемого кандидата («А-кандидата», в данном случае кандидата «Да») от формы распределения голосов за прочих кандидатов (в данном случае «Нет» и недействительного бюллетеня) на высоких явках.

Диаграмма рассеяния для A-кандидата в правой панели имеет вид «кометы», состоящей из двух существенно различных по характеру частей: компактного «ядра» вокруг явки примерно 45 % и результата около 65 % и вытянутого «хвоста», тянущегося к 100 %-ным значениям явки и результата. При этом в хвосте, в отличие от ядра, присутствует специфическая сетчатая структура: участки склонны группироваться вокруг целочисленных процентных и особенно кратных 5 % значений явки и результата. Еще одна важная деталь состоит в том, что итоговые официальные значения явки и результата (показаны крестиком) попадают «в молоко» — в область между ядром и хвостом, где концентрация избирательных участков существенно меньше, чем внутри ядра и в наиболее плотной части хвоста. То есть получается, что «среднестрановых» избирательных участков нетипично мало, существенно меньше, чем участков с большими и меньшими значениями явки и результата.

Все это наводит на мысль, что в формировании распределения участков по явке и результату принимали участие два разных механизма: один для ядра, другой, отличный от первого, для хвоста. Ключом к пониманию природы «хвоста» является наличие сетчатой структуры — концентрация избирательных участков на «красивых», с человеческой точки зрения, процентных значениях. Как говорилось в предыдущей главе, величина явки на избирательных участках, складывающаяся как сумма решений независимых избирателей, представляет собой случайную величину, распределение которой имеет естественную ширину, ограниченную снизу шириной биномиального распределения для типичных значений явки и численности зарегистрированных избирателей, которая во всех реальных ситуациях имеет порядок I %-ного пункта. Между тем наблюдаемая структура соответствует концентрации избирательных участков в узких интервалах шириной в десятые доли процента — примерно так, как если бы нам удалось нарисовать на бумаге миллиметровую сетку малярной кистью. В работе[498], написанной на материале федеральных российских избирательных кампаний 2000–2012 годов, показано, что вероятность образования таких структур при свободном волеизъявлении избирателей астрономически мала, однако, как мы видим, они продолжают возникать.

Какой же механизм способен обеспечить такую точную группировку результатов и явок на участках вокруг «красивых» процентных значений? Очевидно, что этот механизм как-то связан с десятичной системой, потому что в других системах счисления «красивые» проценты никак не выделены. Например, если бы на правую диаграмму посмотрели семипалые инопланетяне, пользующиеся семеричной системой счисления, они могли бы сделать вывод, что ее авторами являются существа, для которых числа 5 и 10 имеют какое-то особое значение. И такие существа нам известны: это люди. То есть «десятичная» структура — это результат влияния человека. При этом, как уже говорилось, воздействие на уровне свободно голосующих избирателей (например, путем агитации для повышения явки) не позволяет достичь желаемых показателей с необходимой точностью в десятые доли процента в силу статистической природы итоговых показателей голосования. Остается предположить, что формирование сетчатой структуры в хвосте распределения — это следствие воздействия на явку и результат уже на уровне избирательного участка, то есть фальсификации.

В картину фальсификации укладывается и общая форма хвоста распределения на диаграмме: рост результата A-кандидата с явкой и соответствующее падение результатов прочих кандидатов. Такой рост соответствует простейшему механизму фальсификации: вбросу бюллетеней или приписке голосов за желательного кандидата. О том, что такое явление существует, мы хорошо знаем от наблюдателей на местах и особенно из записей видеонаблюдения с избирательных участков. При добавлении бюллетеней за административного кандидата происходят две вещи: избирательный участок сдвигается вправо по явке (всеми своими «точками», в отношении всех кандидатов), кроме того, процентный результат административного кандидата увеличивается (поскольку за него добавили голоса), а результаты остальных кандидатов уменьшаются (поскольку добавленные голоса за A-кандидата увеличивают общее число поданных голосов, стоящее в знаменателе процентных результатов). Таким образом, точки A-кандидата смещаются вправо и вверх, а точки остальных кандидатов — вправо и вниз, что мы и наблюдаем в правой панели.

В таком предположении становится понятен и механизм возникновения «красивых» результатов и явок: администрация избирательного участка добрасывает голоса не до какого-то произвольного числа, а до получения значений явки или результата административного кандидата, которые ей представляются желательными из каких-то соображений (или из спущенных сверху указаний). И тут проявляется еще одно важное свойство статистики больших наборов чисел: даже если доля таких «рисующих» избирательных комиссий невелика и каждая из них действует независимо, на уровне страны тенденция становится видна.

Важно, что концентрация избирательных участков на целочисленных процентах — свойство именно хвоста «кометы» в правой панели, но не ее ядра. Это оправдывает наше предположение о том, что механизмы формирования ядра и хвоста на диаграмме различны. Более того, это не единственная аномалия, свойственная участкам в хвосте. В графах протоколов с избирательных участков хвоста также аномально много чисел, заканчивающихся на о и 5, что тоже характерно для чисел, нарисованных «из головы», и не свойственно числам, возникшим в результате случайного процесса, каким является голосование избирателей. Кроме того, в «хвосте» наблюдаются и другие структуры, невозможные при свободном голосовании избирателей. Например, кластер точек в районе явки 63 % и результата «Да» 78 % (рядом с черным крестиком) — это практически все избирательные участки города Казани, за исключением нескольких, закрытых независимыми наблюдателями (там явка составила от 32 до 40 %), и нескольких, показавших явку под юо%. Каки в случае обсуждавшейся выше сетчатой структуры, этот кластер слишком тесный, чтобы образоваться в результате свободного голосования на участках, а значит, можно говорить о широкомасштабной фальсификации результатов в масштабах миллионного города.

Обратимся теперь к левой панели диаграммы. Здесь приведена гистограмма распределения голосов за кандидатов по явке (количество голосов, поданных за кандидатов на участках, сгруппированных по интервалам итоговой явки размером I % от целого процента до целого; значение явки юо% рассматривается как отдельный интервал). Фактически это проекция (маргинал) двумерного распределения из правой панели на ось явки. Тонким пунктиром показано распределение голосов «Нет» и недействительных бюллетеней, масштабированное так, чтобы совпадать с распределением голосов «Да» на низких явках. Мы видим, что в диапазоне явок, соответствующем положению ядра в правой панели, формы этих двух распределений действительно совпадают, а в области «хвоста» расходятся. Если мы принимаем, что «хвост» — это участки, где имел место вброс голосов за административного кандидата, то при достаточно общих предположениях количество вброшенных за A-кандидата голосов дается заштрихованной площадью между двумя гистограммами — A-кандидата (красная линия) и масштабированной гистограммой голосов за остальных кандидатов (серая линия)[499]. Это число обозначено в легенде левой панели (26 929 тысяча аномальных голосов). В случае если фальсификации имеют более сложный характер (например, явку и результаты просто «рисуют»), посчитанное таким образом количество аномальных голосов перестает быть численно точной оценкой объема фальсификации, но остается полезным индексом, показывающим масштаб фальсификации и пригодным, например, для сравнительного и исторического анализа, которому будет посвящена следующая глава. Кроме того, отметим, что сетчатая структура правой диаграммы в левой панели превращается в «пилу Чурова» — зубчатую форму распределения с пиками на пропорциональных 5 % значениях явки.

Замечание I. С математической точки зрения анализ данных выборов, содержащих фальсифицированные (искаженные) значения, можно рассматривать как задачу робастной (устойчивой к искажению части данных) статистики. Такие задачи возникают при обработке данных, часть которых может быть искажена, например, в результате ошибок измерения, воздействия внешних факторов или примешивания данных другой природы. Известные примеры робастных статистических показателей — медиана и межквартильный размах, дающие робастную замену соответственно среднего и среднеквадратичного отклонения. Применяемый здесь метод оценки количества аномальных голосов (и, соответственно, очищенного от фальсификаций результата голосования) можно рассматривать как специализированный показатель робастной статистики, учитывающий априорное знание о характере ожидаемых искажений данных.