Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ХОРОШИЕ ВЫВОДЫ ИЗ ПЛОХО НАРИСОВАННЫХ ФИГУР

Здесь мы вступаем в область геометрии под названием топология. В ней нас не волнует величина объектов, их удаленность друг от друга, степень изогнутости или деформации. На первый взгляд это может показаться вопиющим отходом от темы нашей книги, а на второй – оставить вас в недоумении, не предлагаю ли я какой-то геометрический нигилизм, когда нас не заботит ничего.

Нет! Заметная часть математики состоит в том, чтобы понять, о чем мы можем позволить себе не заботиться, временно или навсегда. Такое избирательное внимание – базовая часть нашего мышления. Скажем, вы переходите улицу, и тут какая-то машина проскакивает на красный и мчится на вас. Есть множество вещей, которые вы можете учесть, планируя свой следующий шаг. Можете ли вы достаточно хорошо рассмотреть через ветровое стекло, трезв ли водитель? Какая модель у автомобиля? Надели ли вы сегодня чистое нижнее белье на случай, если в итоге вас собьют и вы будете лежать на асфальте? Все эти вопросы вы не задаете, позволяя себе не заботиться о них, и все свое сознание фокусируете на попытке определить траекторию движения машины, чтобы успеть отскочить с ее пути как можно быстрее и дальше.

Математические задачи обычно не столь драматичны, однако приводят к аналогичным процессам абстрагирования – умышленного игнорирования всех параметров, не относящихся непосредственно к стоящей перед нами проблеме. Ньютон сумел справиться с задачами небесной механики, когда понял, что небесные тела двигаются не по каким-то собственным прихотям, а по универсальным законам, применимым к каждой частице материи во Вселенной. Для этого ему пришлось заставить себя забыть о том, из чего сделан объект и какова его форма: все, что имело для Ньютона значение, – это масса объекта и расположение относительно других тел. Или шагнем еще дальше, к истокам математики. Сама идея числа состоит в том, что при вычислениях вы можете оперировать семью коровами, семью камнями или семью людьми, используя одни и те же правила подсчета и комбинирования, а отсюда уже недалеко до семи наций или семи идей. Не имеет значения (для данных целей), что это за объекты, – важно только их количество.

Топология – это нечто подобное, только для фигур. В своей нынешней форме она восходит к Анри Пуанкаре. Опять он! Это имя мы будем слышать не раз, поскольку Пуанкаре приложил руку к ошеломительно широкому диапазону геометрических идей – от специальной теории относительности до теории хаоса и тасования карт. (Да, тут тоже есть теория, и это тоже геометрия; мы к ней еще вернемся.) Пуанкаре родился в 1854 году в Нанси в состоятельной семье профессора медицины. В пятилетнем возрасте он серьезно заболел дифтерией и несколько месяцев совершенно не мог говорить; мальчик полностью выздоровел, но все детство был физически слабым. Уже взрослого один студент описывал его так: «Прежде всего я вспоминаю его глаза[74]: близорукие, но яркие и проницательные. В остальном в памяти хранится образ невысокого сутулого мужчины с неуклюжими движениями туловища и конечностей». Когда Пуанкаре был подростком, немцы захватили Эльзас и Лотарингию, хотя Нанси остался под властью Франции. Неожиданное и абсолютное поражение во Франко-прусской войне стало национальной трагедией; Франция не только решила вернуть утраченные территории, но и стала воспроизводить ту бюрократическую эффективность и технологическую компетентность, которую сочла причиной военного превосходства Германии. Подобно тому как запуск советского спутника привел к волне финансирования научного образования в Соединенных Штатах в конце 1950-х годов, утрата Эльзаса[75] и Лотарингии побудила Францию догнать Германию с ее лучше организованными научными учреждениями. Пуанкаре, который изучил немецкий язык во время оккупации, принадлежал к новому авангарду французских математиков, получивших современную подготовку и превративших Париж в один из математических центров мира с лидером в лице Пуанкаре.

Пуанкаре был выдающимся студентом, но не вундеркиндом: его первая серьезная работа появилась, когда ему было около 25 лет, а всемирно известной фигурой он стал только в конце 1880-х годов. В 1889 году он получил[76] премию шведского короля Оскара за лучшее эссе по задаче трех тел, в которой требуется определить положение трех небесных тел, двигающихся под действием гравитации. Эта задача не до конца понята и в XXI веке, однако в своей статье Пуанкаре заложил основы теории динамических систем – метода, используемого современными математиками для изучения как задачи трех тел, как и тысяч других проблем.

Пуанкаре отличался редкой пунктуальностью[77] и работал над математическими проблемами ровно четыре часа в день – с десяти утра до полудня и с пяти до семи вечера. Он верил в крайнюю важность интуиции и бессознательной работы, однако его карьера была в каком-то смысле очень методичной: ее характеризовали не столько яркие моменты озарения, сколько систематическое и неуклонное расширение царства познаваемого на территории тьмы по четыре часа в будни и никогда – по выходным. С другой стороны, у Пуанкаре, как известно, был ужасный почерк, а поскольку он одинаково владел обеими руками, в Париже ходила шутка[78], что Пуанкаре может писать одинаково хорошо, то есть одинаково плохо, любой рукой.

Он был не только самым выдающимся математиком своего времени[79], но и популяризатором науки для широкой публики: его книги, рассказывающие о таких модных темах, как неевклидова геометрия, радий или новые теории бесконечности, расходились десятками тысяч экземпляров и были переведены на английский, немецкий, испанский, венгерский и японский языки. Он был мастером слова с особым талантом выражать математическую идею в каком-нибудь тонком изречении. Вот одно из них, весьма подходящее для стоящей перед нами задачи:

Геометрия – это искусство делать хорошие выводы из плохих чертежей[80].

Иными словами, если мы с вами собираемся поговорить об окружности, мне нужно, чтобы нам было на что смотреть, поэтому я беру лист бумаги и рисую ее.

Если у вас педантичное настроение, вы можете возразить, что это не окружность; возможно, у вас есть линейка и вы проверяете, что расстояние от предполагаемого центра до каждой точки предполагаемой окружности вовсе не одинаково. Ладно, соглашаюсь я, но, когда мы говорим о числе дырок в круге, это неважно. В этом отношении я следую примеру самого Пуанкаре, который – в соответствии со своим изречением и своим ужасным почерком – рисовал фигуры отвратительно. Его ученик Тобиас Данциг вспоминал: «Окружности, которые он рисовал[81] на доске, были чисто формальными, они напоминали настоящие только тем, что были замкнутыми и выпуклыми»[82].

Для Пуанкаре и для нас все это – окружности.

Даже квадрат – это окружность![83]

И эта дурацкая загогулина – тоже[84].

Но вот это не окружность,

потому что в ней есть разрыв. Разорвав окружность, я совершил нечто более необратимо жестокое, нежели сминание, сгибание и даже загибание углов. Я действительно изменил ее форму, превратив в плохо начерченный отрезок вместо плохо начерченной окружности, и перешел от объекта с дырой внутри к объекту без дыры.

Вопрос об отверстиях в соломинке кажется топологическим вопросом. Нужно ли двум математикам знать точные размеры соломинки, действительно ли она прямая и представляет ли ее поперечное сечение идеальный круг, который одобрил бы Евклид? Конечно же, нет. На каком-то уровне они понимают, что от этих вещей при достижении их целей можно спокойно отказаться.

Но что останется, когда вы от них откажетесь? Пуанкаре советует нам взять соломинку и укорачивать, укорачивать и укорачивать ее. Однако для него это все та же соломинка. Очень скоро она превратится в узкую полоску пластика.

Можно пойти дальше и разогнуть стенки наружу, чтобы получилась плоская фигура на странице книги.

Официальное геометрическое название такой фигуры, заключенной между двумя окружностями, – кольцо, хотя вы можете считать это грампластинкой, или летающим кольцом Aerobie, или чакрамом – индийским метательным оружием XVII века с острым, как бритва, внешним краем. Как бы вы его ни назвали, это все равно плохо нарисованная соломинка и у нее всего одно отверстие.

Если топология настаивает, что в соломинке всего одно отверстие, то что она говорит насчет штанов? Мы можем укоротить их, как делали с соломинкой. Сначала они станут шортами, а потом и стрингами. Когда я разложу стринги на странице книги, которую вы читаете, вы увидите двойное кольцо,

в котором явно два отверстия. Итак, мы пришли сейчас к заключению, что у соломинки одно отверстие, а у штанов – два.