Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ЭНТУЗИАЗМ ДЕРЕВА РЕАЛЬНОСТИ

Геометрические объекты интересны широкому кругу людей, потому что они перекликаются с реальными вещами, с которыми мы периодически сталкиваемся в жизни. Если бы единственными треугольными предметами во Вселенной были металлические ударные музыкальные инструменты, то мы уделяли бы изучению треугольников гораздо меньше внимания.

С помощью дерева можно изобразить не только игру. Та же геометрия есть повсюду. Разумеется, в настоящих деревьях с корой, которые поглощают углекислый газ. В генеалогических (родословных) деревьях, где ветви определяются не выбором вариантов, а рождением детей. Корень родословного древа – это пара-основатель, конечные точки-листья – это члены семьи, у которых не было (или пока нет) детей. Обычно генеалогическое древо изображают с корнем вверху: мы называем себя потомками и находимся на нисходящей линии от предков.

Артерии в нашем теле тоже образуют дерево. Корень – это аорта, большая трубка, несущая насыщенную кислородом кровь от сердца; от нее отходят правая и левая коронарные артерии, плечеголовной ствол, левая общая сонная артерия, левая подключичная артерия, бронхиальные артерии, пищеводные артерии… Каждая из них, в свою очередь, делится на более мелкие артерии; плечеголовной ствол – на правую общую сонную артерию и правую подключичную артерию; правая общая сонная артерия разветвляется на внешнюю и внутреннюю сонные артерии примерно там, где подбородок соприкасается с шеей, и так далее, вплоть до крохотной сети артериол диаметром в один-два волоса – последней остановки крови перед тем, как она избавится от кислорода и начнет свое путешествие обратно к легким за его новой порцией.

Не у всех внутри одинаковое кровеносное дерево! Иллюстрация выглядит похожей на тест для иностранцев с несколькими ответами, хотя на самом деле на ней изображены разновидности ветвления артерий[187], питающих нашу печень.

Река – это дерево[188]. Только помните, что двигаться тут надо против течения. Корень – это залив или море, куда впадает река. Отсюда вы поднимаетесь по ней, а она тем временем разветвляется на притоки, затем на притоки притоков и так далее – вплоть до истока.

То же самое относится к любой иерархической классификации, например линнеевской классификации биологических видов. Царства делятся на отделы, отделы – на классы, классы – на порядки, порядки – на семейства, семейства – на роды, роды – на виды. Вот дерево деревьев:

Добро и зло – тоже деревья! Speculum Virginum («Зеркало девственниц») – это дидактический трактат для средневековых монахинь, составленный, как принято считать, монахом-бенедиктинцем Конрадом из монастыря Хирзау в Шварцвальде в XII веке, хотя вопросы авторства в истории литературы столь отдаленного времени крайне сложны. Тем не менее эта книга существует и в ней есть Древо Добродетелей и Древо Пороков. Зло интереснее, так что обратимся к порокам[189].

Корень дерева, источник всех пороков, – это superbia (гордыня), прорастающая из головы какого-то богато одетого господина. Потомки гордыни включают ira (гнев), avaritia (алчность), а в верхней части страницы – luxuria (похоть, блуд), слово, услужливо начертанное на тазе улыбающегося мужчины. У каждого из грехов есть собственные потомки: семь отпрысков гнева включают богохульство и оскорбление, а похоть порождает libido, fornicario и turpitudo. (Не могу сказать, что улавливаю между ними тонкие различия[190], и это одна из причин, почему из меня получилась бы плохая средневековая монахиня.)

С течением времени проблемы людей становятся не столько этическими, сколько корпоративными, а дерево возвращается в виде организационной диаграммы – схемы, показывающей структуру взаимоотношений внутри компании. Такое дерево сообщает, кто кому подчиняется и кто кому приказывает. Вот, возможно, первая такая схема, составленная инженером Дэниелом Маккаллумом в 1855 году для железной дороги Нью-Йорка и Эри. Впоследствии Маккаллум будет руководить всеми железными дорогами сил Союза во время Гражданской войны[191].

Информация течет от листьев обратно к корню, президенту железной дороги, в то время как власть течет в противоположном направлении: от президента через цепочки подчиненных к листьям и почкам, которые напечатаны слишком мелко, чтобы их можно было прочитать на этой странице: рабочие, машинисты, плотники и смазчики[192]. Эта диаграмма не совсем дерево; на ней организационная структура сочетается с изображением железнодорожных линий, которыми управляет организация. В центре она похожа на Древо Пороков, а по краям – на американские пригороды конца XX века, если смотреть на них сверху. Дерево отображает геометрию иерархии по тем же причинам, по которым оно представляет геометрию игры «Ним» или геометрию сада расходящихся тропок[193], составляющих нашу жизнь; нет циклов, нет бесконечного возвращения. Если я руковожу вами, то вы не можете руководить мной. Если одна позиция в «Ниме» следует из другой, то ни один ход не может вернуть вас в предыдущее состояние; это то, что мешает играм длиться вечно[194].

Но больше артерий, рек и грехов мне нравятся деревья чисел. Вот как они создаются. Вы начинаете с какого-нибудь числа, скажем 1001, и затем рубите его топором. Я имею в виду, что вы находите два меньших числа, произведение которых равно 1001. Например, 1001 = 13 × 77. А теперь рубим топором каждый из множителей. Мы можем разрубить 77 на 7 × 11. А 13? Вот здесь мы застряли: это число нельзя представить в виде произведения двух меньших чисел. Машите топором, сколько хотите, все равно ничего не выйдет. То же самое верно для 7 и 11. Мы можем записать то, что только что сделали, в виде дерева, где каждая ветвь изображает удар топора.

Листья дерева – числа, которые уже не разбиваются, – мы называем простыми числами, базовыми кирпичиками лего, из которых составлены все числа. Все числа? Откуда я это знаю? Благодаря дереву. На каждом этапе размахивания топором число, на которое мы нацелились, либо делится на два меньших множителя, либо нет, и если не делится, то оно простое. Мы рубим до тех пор, пока не сможем больше рубить. И в этот момент все оставшиеся числа оказываются простыми. Это может занять много времени, если мы начнем, например, с 1024:

или получиться сразу, если начать с простого числа вроде 1009:

Однако рано или поздно это произойдет.

Такой процесс не может продолжаться вечно, поскольку с каждым ударом топора числа в дереве становятся меньше, а последовательность целых положительных чисел, которые уменьшаются на каждом шаге, в итоге должна достигнуть конца и остановиться[195].

В финале этого фестиваля рубки получается дерево, все листья которого – числа, не раскладывающиеся на множители, то есть простые числа, и если их все перемножить, то мы получим число, с которого начали.

Тот факт, что любое целое число[196], каким бы большим и сложным оно ни было, можно выразить как произведение простых множителей, вероятно, впервые был доказан примерно в конце XIII века персидским математиком (и пионером в оптике – в те времена специализация была менее распространена) Камалом ад-Дин аль-Фариси в трактате (Тадхкират аль-Ахбаб фи байан аль-Тахабб «Записки для друзей о доказательстве дружественности»[197]).

С учетом вышесказанного это может показаться странным. Почему потребовалось почти две тысячи лет, чтобы пройти от определения простого числа у пифагорейцев до теоремы аль-Фариси? Здесь снова причина в геометрии. Евклид определенно понимал факты, из которых для современного специалиста по теории чисел немедленно следует вывод, что любое простое число можно разложить на простые: некоторые на кучу простых, как 1024, или только на одно, как 1009, или на нечто среднее, как 1001. Однако Евклид не пишет о произведениях большого количества простых множителей, и мы предполагаем, что причина в том, что он просто не мог этого сделать. Для Евклида все было геометрией, поэтому любое число он представлял как длину какого-то отрезка. Сказать, что число делится на 5, – значит сказать, что на этом отрезке укладываются пять одинаковых отрезков меньшей длины. Когда Евклид умножает два числа, он представляет результат в виде площади прямоугольника, длина и ширина которого – те два числа, что мы перемножили (сомножители). Когда Евклид умножает три числа, он называет результат телесное, поскольку воспринимает его как объем прямоугольного кирпича с длиной, шириной и высотой, равными сомножителям[198].

Математика в основе своей – творческое занятие, которое задействует все наши когнитивные и творческие способности. Когда мы занимаемся геометрией, мы используем то, что наш разум и тело знают о размерах и форме тел в пространстве. Евклид добился успехов в теории чисел не в перерывах между занятиями геометрией, а благодаря своим работам по геометрии. Воспринимая числа как длины отрезков, он смог понять их лучше своих предшественников. Однако привязка теории чисел к геометрической интуиции одновременно и ограничивала его. Произведение двух чисел было площадью прямоугольника, а трех чисел – объемом кирпича-параллелепипеда. А произведение четырех чисел? Это не та величина, которую можно реализовать в трехмерном пространстве, где мы живем. Поэтому такие величины Евклид обходит молчанием. Более алгебраический подход математиков средневековой Персии был не так сильно привязан к нашему физическому опыту и поэтому лучше способствовал переходу к чисто умственным абстрактным сферам. Однако это не означает, что в нем нет геометрии. Как мы уже видели, геометрия не ограничивается тремя измерениями, их может быть сколько угодно. Просто нужно больше напряжения при воображении. Мы доберемся и до этого.