Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ГРАФЫ И КНИЖНЫЕ ЧЕРВИ

Игру Эрдёша на киноактеров переключила в 1990-е годы одна группа скучающих студентов колледжа, которые заметили, что актер Кевин Бейкон, похоже, снимался в фильмах со всеми[518]: он был Эрдёшем для Голливуда 1980-х и 1990-х годов. Поэтому для любого киноактера вы можете определить число Бейкона – это расстояние до Кевина Бейкона в геометрии совместных съемок. Как почти у всех математиков есть число Эрдёша, так почти у всех актеров есть число Бейкона[519]. Мое число Бейкона равно 2, поскольку я снимался с Октавией Спенсер в фильме «Одаренная», а она сыграла в 2005 году роль клиентки в фильме «Салон красоты» с певицей Куин Латифой, где Бейкон играл Джорджа. Поэтому мое число Эрдёша – Бейкона: 3 + 2 = 5. Клуб людей с определенным числом Эрдёша – Бейкона довольно мал. Даника Маккеллар, которая подростком играла в телесериале «Чудесные годы» и, по мнению всех моих друзей, учивших ее в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, сделала бы блестящую карьеру в математике, если бы не предпочла актерскую профессию, имеет число Эрдёша – Бейкона, равное 6. Николас Метрополис[520] разработал и дал свое имя одному из важнейших алгоритмов при случайных блужданиях, который помог реализовать мечту Больцмана о понимании свойств газов, жидкостей и твердых тел путем последовательного анализа движения молекул и их бильярдных столкновений. Однако для нас сейчас важнее, что он сыграл эпизодическую роль в фильме Вуди Аллена «Мужья и жены» и тем самым обошел меня с числом Эрдёша – Бейкона: у него оно 2 + 2 = 4[521].

Математики обычно не называют такие сети сетями; мы называем их графами, и они не имеют ничего общего с графиками функций, которые вы, возможно, рисовали в школе. Мы виним в этом химиков. Предельные углеводороды (парафины или алканы) – это вещества, молекулы которых состоят только из атомов углерода и водорода. Самый простой из них – один атом углерода и четыре атома водорода – это метан (газ «коровья отрыжка вызывает глобальное потепление»). Слово «парафин» может напомнить вам о парафиновом воске, различные молекулы которого содержат уже десятки атомов углерода. Химики XIX века определяли, сколько углерода и водорода содержится в каждом соединении, проводя «элементный анализ» (это причудливый способ сказать «подожгите и посмотрите, сколько выделится двуокиси углерода, а сколько воды»). Однако вскоре они начали понимать, что существуют молекулы с одинаковыми формулами, но при этом с разными свойствами. Они пришли к мысли, что дело не только в количестве атомов. Молекулы обладают геометрией. Одни и те же атомы могут располагаться по-разному.

Бутан – вещество, сгорающее в зажигалке Zippo, – имеет формулу C4H10: четыре атома углерода, десять атомов водорода. Эти атомы углерода можно расположить в цепочку:

а можно в виде буквы Y, что дает молекулу под названием изобутан.

Чем больше у нас атомов углерода, тем больше разных геометрий можно построить. Октан, как следует из его названия, содержит восемь атомов углерода: его формула C8H18. В стандартной форме все они выстроены в одну линию. Однако октан, входящий в состав вашего бензина и обеспечивающий плавную езду, выглядит так:

Его научное название – 2,2,4-триметилпентан. Я понимаю, почему на бензоколонках не пишут 2,2,4-триметилпентановое число. Однако обычная номенклатура приводит к довольно странному факту, что у октана крайне низкое октановое число[522].

Молекула – это сеть; точки – атомы, между которыми есть связи. В предельных углеводородах атомы углерода не образуют замкнутого цикла, поэтому сеть атомов углерода – это дерево, как в случае позиций для шашек.

Оказывается, каждый атом углерода образует связи с четырьмя другими атомами, а атомы водорода моногамно обходятся одной. Вы можете убедиться, что две изображенные выше молекулы бутана охватывают все способы соединить четыре С и десять H. Для пентана, с его пятью атомами углерода, получается три способа:

а для гексана – пять способов (я не стану на этот раз рисовать водород):

Снова последовательность Вираханки – Фибоначчи! Однако нет: для гептана с семью атомами углерода существует не восемь, а девять вариантов цепи. Маленьких чисел не так уж много, а потому при подсчете может происходить перекрытие. Это проблема стандартизированных тестов; вы вполне можете спросить ученика: «Какое число будет следующим в последовательности 1, 1, 2, 3, 5?» И если он ответит: «Девять, потому что я решил, что мы подсчитываем количество предельных углеводородов», то вам придется признать, что этот всезнайка заслужил зачет[523].

Хорошая картинка все проясняет чудесным образом. Химики значительно продвинулись в своем понимании, когда начали рисовать изображения вроде представленных на этих страницах, которые назвали графической нотацией. Математики тоже вдохновились новыми геометрическими вопросами, обнаруженными химиками, и быстро перенесли их в область чистой математики. Сколько тут разных структур молекул и как можно организовать весь этот дикий геометрический зоопарк? Алгебраист Джеймс Джозеф Сильвестр одним из первых серьезно взялся за эти вопросы. Он писал, что химия оказала «животворящее и вдохновляющее влияние на алгебраистов»[524]. Он сравнил такое действие на математический ум с вдохновением, которое поэты черпают из картин:

В поэзии и алгебре[525] мы имеем чистую идею, разработанную и выраженную посредством языка, а в живописи и химии идея, заключенная в материи, для должного проявления частично зависит от процессов обработки и ресурсов искусства.

Сильвестр взял выражение «графическая нотация»[526], используемое химиками, и на его основе придумал термин «граф», которым мы пользуемся до сих пор.

Сильвестр был англичанином, но также в каком-то смысле и первым американским математиком; в шестьдесят лет он стал первым профессором математики в только что открывшемся Университете Джона Хопкинса в 1876 году – в те времена, когда американской математики практически не существовало и студентам приходилось ехать в Германию, чтобы научиться чему-нибудь серьезному. Он выглядел как выдающийся пожилой ученый. Один из современников описывал Сильвестра как «гигантского гнома с бородой[527] на огромной груди, к счастью без шеи, поскольку ни одна шея не выдержала бы такую чудовищную голову – лысую, за исключением перевернутого ореола волос, покрывающего место ее соединения с широченными плечами». Все обращали внимание на огромную голову Сильвестра. Фрэнсис Гальтон, статистик и энтузиаст френологии, говорил своему ученику Карлу Пирсону: «Было настоящим удовольствием наблюдать[528] за этим громадным куполом». (Гальтон жаловался на открытие Пирсона, что объем черепа не коррелировал с интеллектуальными достижениями, во что всегда верил большеголовый Гальтон.)

Развитие математики в Америке могло начаться намного раньше, поскольку Сильвестр еще в 1841 году был принят на работу в Вирджинской университет. Это может показаться идеальным местом, поскольку Вирджиния была университетом любителя математики Томаса Джефферсона, а одним из неукоснительных требований при поступлении была «демонстрация досконального знания Евклида»[529]. Однако дела не задались с самого начала. Если у вас есть знакомые, которые любят сетовать на то, какие нынче наглые студенты американских колледжей, посоветуйте им прочитать о студентах американских колледжей начала XIX века. Из Йельского университета в 1830 году[530] были исключены 44 человека, включая сына вице-президента Джона Кэлхуна, после отказа сдавать итоговый экзамен по геометрии из-за изменения его условий, а именно запрета пользоваться справочной литературой. Событие стало известно как «Восстание конических сечений». В Вирджинии студенческие волнения перешли от неподчинения в классе к откровенному насилию. Студенты собирались толпами и скандировали: «Долой европейских профессоров», а швыряние камней в окна неугодных преподавателей было совершенно обычным делом. В 1840 году студенты-бунтовщики[531] застрелили непопулярного профессора права.

Сильвестр был не только европейцем, но и евреем. Одна местная газета заявляла, что жители Вирджинии – «христиане, а не язычники, не мусульмане, не евреи, не атеисты» и что профессора должны соответствовать такому же религиозному стандарту. Назначению Сильвестра препятствовал тот факт, что он, строго говоря, не имел степени. Это тоже было связано с религией. Кембридж требовал, чтобы выпускники заявляли о своем согласии с документом «Тридцать девять статей англиканского вероисповедания», чего Сильвестр сделать не мог. К счастью, Тринити-колледж в Дублине, который должен был принимать не только студентов-протестантов, но и католиков, такой присяги не требовал и незадолго до поездки в Америку присвоил Сильвестру степень бакалавра.

Сильвестр, в то время не производивший впечатления физически сильного человека (несмотря на голову), был едва старше тех, кого обучал, и в результате все его старания поддерживать в классе дисциплину натыкались на дерзость и презрение. Попытка наказать Уильяма Балларда из Нового Орлеана за чтение книги под столом во время занятий вылилась в спор, с которым пришлось разбираться всему факультету. Баллард обвинил Сильвестра в худшем, что только мог вообразить: что профессор обращается к нему так, как белый в Луизиане разговаривает с рабом. К великому разочарованию Сильвестра, многие из его коллег смотрели на вещи так же, как Баллард. Впрочем, с этого момента стало еще хуже. Позже в том же семестре Сильвестр совершил ошибку: на устном экзамене он заметил какие-то оплошности в ответе одного студента, в результате старший брат этого парня решил вступиться за честь своей семьи и ударил Сильвестра по лицу. Ученый, конечно же зная о судьбе непопулярного профессора права, предусмотрительно носил с собой трость с вложенной шпагой, которую и пустил в дело. Брат студента не пострадал, но карьере Сильвестра в Вирджинском университете пришел конец. Несколько месяцев он ездил по Соединенным Штатам в поисках более подходящего места и почти получил должность в Колумбийском университете, но препятствием опять послужила религия. Попечители сказали ему (видимо, это казалось им оправданием), что у них нет никакого предубеждения к иностранным профессорам и они точно так же сочли бы американского еврея неподходящим для этой должности. Эта неудача помешала также его матримониальным планам в Нью-Йорке.

«Моя нынешняя жизнь сейчас практически пуста», – вспоминал Сильвестр. Он вернулся в Англию[532], одинокий и безработный, перебивался различными заработками: был актуарием, юристом, частным преподавателем математики у Флоренс Найтингейл, одновременно занимаясь алгеброй. Вернуться к университетской жизни ему удалось только через десять лет. Из-за пересекших Атлантику слухов из Вирджинского университета люди верили, что он убил ребенка, на которого напал с оружием в трости. Сильвестр также отличался неприятной склонностью к ученым склокам, о чем можно догадаться по его работам вроде опубликованной в 1851 году «Объяснения совпадения теоремы, приведенной мистером Сильвестром в декабрьском номере этого журнала, с теоремой, изложенной профессором Донкином в июньском номере», которое я перескажу: «Хотя я иногда пишу статьи в ваш журнал, я не читаю его регулярно, поэтому не заметил более раннюю работу Донкина, относящуюся к теореме, которую я на самом деле доказал еще девять лет назад, но никому не показывал, поскольку решил, что она слишком проста и наверняка уже где-то опубликована». Он заканчивает весьма сдержанным извинением перед Донкином (здесь я должен цитировать – настолько это выразительно звучит), «чья высокая и заслуженная репутация, не говоря уже о бескорыстной любви к истине ради самой истины без учета личных соображений, а также вдохновляющий труд подлинного служителя науки должны сделать его безразличным к почестям, которые, как предполагается, могут проистекать от авторства или первой публикации этой очень простой (хотя и важной) теоремы». Он подавал заявку на профессуру в Грешем-колледже[533] по геометрии (та должность, которую позже занимал Карл Пирсон) и получил отказ. Сильвестр так никогда и не был женат.