Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ВЕЛИКИЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬ КОРНЕЙ

Каждый год в январе, в разгар студеной висконсинской зимы, в нашем районе проводится шоу талантов. Дети играют на скрипке, родители разыгрывают дурацкие скетчи. Я вычислял в уме квадратные корни, выступая под именем Великий Вычислитель Корней. И я победил! Трюку с вычислением квадратных корней в уме я научился в колледже. Его социальная полезность оказалась не такой большой, как я ожидал. Но я все равно вас ему научу.

Предположим, вас просят найти квадратный корень из 29. Чтобы трюк сработал, нужно хорошо знать квадраты, потому что у вас должно буквально соскальзывать с языка, что 5 в квадрате – это 25, а 6 в квадрате – 36. Рассмотрим теперь последовательность чисел

√25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36.

Мы знаем только первый и последний из ее двенадцати членов; это 5 и 6. Нам нужно найти пятый член.

Предположим, что это арифметическая прогрессия. Хотя это не так, но давайте допустим. Великий Вычислитель Корней вам разрешает. Мы за 11 шагов переходим от 5 к 6; если все шаги одинаковы, то каждый шаг равен 1/11. Поэтому √29, который находится через четыре шага от 5, должен быть 54/11. О, я не забыл упомянуть, что еще нужно немножко уметь делить в уме? Возможно, вы знаете, что 1/11 – это примерно 0,09, так что 4/11 – это приблизительно 0,36; или вы можете прикинуть, что число 54/11 немного меньше, чем число 54/10, которое равно 5,4. В любом случае вы говорите: «Это где-то 5,3 с хвостиком, вероятно почти 5,4»[421]. (Истинное значение – примерно 5,385.)

Надеюсь, вы заметили принципиальное сходство с аргументацией Фарра, хотя мы использовали разности, а не отношения. Мы безосновательно (как и Фарр) решаем, что на самом деле все разности одинаковы, а затем, на основе имеющихся скудных данных, вычисляем разность нашей прогрессии. Это кажется неоправданным. Но ведь как-то работает!

Справедливо задаться вопросом: зачем я стал это делать (если не считать моей внутренней потребности превзойти соседского ребенка, который научился играть песню Free Fallin’)? Неужели я не мог просто нажать кнопку квадратного корня на своем калькуляторе? Мог. Но Уильям Фарр не мог. И астрономы VII века тоже не могли. Вот как далеко в прошлое уходит эта идея. Чтобы следить за движениями небесных тел, нужны значения тригонометрических функций; эти значения сохранялись в огромных таблицах, составленных с колоссальными затратами сил и времени. Для этих таблиц требовалась более высокая точность, чем может обеспечить мой фокус с квадратными корнями. Примерно в 600 году[422] возникла одна новая идея – у астронома и математика Брахмагупты из индийской исторической области Гурджарадеша и китайского астронома и создателя календаря Лю Чжо, жившего во времена династии Суй.

Нам незачем вдаваться в детали календаря империи, поэтому я для объяснения их метода ограничусь примером с квадратным корнем. С точки зрения арифметики это самая суровая часть во всей теме, так что предполагается, что вы не сможете проделывать это в уме на вечеринке в колледже, попивая пивко.

Чтобы применить подход Брахмагупты – Лю, понадобятся три квадратных корня, а не два: например: √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6. От √16 до √36, то есть от 4 до 6 – двадцать шагов, поэтому если вы последуете рецепту Великого Вычислителя и предположите, что корни будут образовывать арифметическую прогрессию, то расстояние между ее членами будет 2/20. Я говорил вам, что это не совсем так, и вот доказательство: если бы эта последовательность была арифметической прогрессией, то √25 (девять шагов от √16) был бы 4,9, а он на самом деле равен 5.

Вот способ поправить дело. Только что мы убедились: нельзя настаивать на том, что квадратные корни образуют арифметическую прогрессию, если у нас есть какие-то три числа; иными словами, мы не можем считать все получающиеся разности одинаковыми.

Следующее предположение: пусть тогда эти разности сами образуют арифметическую прогрессию, то есть чтобы одинаковыми были разности между разностями! Но это в точности идея Фарра об отношениях отношений.

√16, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36

????????????????????

Итак, чтобы это сработало, нам нужна во второй строке арифметическая прогрессия из двадцати чисел, сумма которых равна 2 (она будет убывать, потому что расстояния между корнями становятся все меньше и меньше); однако при этом сумма первых девяти чисел должна составлять 1, потому что они ведут от √16 = 4 до √25 = 5. Оказывается, существует всего одна подходящая прогрессия. Вот удобный способ ее найти.

Поскольку первые девять членов в сумме дают 1, то их среднее равно 1/9. Однако среднее в арифметической прогрессии с нечетным числом членов – это ее средний член, в нашем случае пятый, поэтому он равен 1/9.

С другой стороны, сумма последних одиннадцати членов тоже равна 1, поэтому их среднее составляет 1/11. Значит, их средний член (то есть пятнадцатый во всей последовательности) равен 1/11.

√16, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36

???? 1/9????????? 1/11?????

И этого достаточно, чтобы восстановить всю прогрессию! От пятого члена до пятнадцатого – десять шагов, и при этом нам надо преодолеть расстояние от 1/9 до 1/11, то есть 2/99. Следовательно, каждый шаг равен 2/990. Это означает, что первая разность, которая на четыре шага больше, чем 1/9, равна 1/9 + 8/990 = 118/990, а последняя, которая на пять шагов меньше, чем 1/11, составляет 1/11 – 10/990 = 80/990[423].

√16, √17 ………………………………………. √35, √36

118/990 ………………………………. 80/990

………..1/9 …………………..1/11 ……….

Так чему же равен √29 в соответствии с последними достижениями астрономии VII века? Чтобы дойти от √16 до √29, нужно сложить первые тринадцать разностей:

118/990 + 116/990 + 114/990 + … + 94/990

и добавить их к 4. Вы получите 4 + 1378/990, то есть примерно 5,392. Это приблизительно втрое точнее нашей первой оценки 54/11.

Метод последовательных разностей попал из Индии в арабский мир, а затем несколько раз был переоткрыт в Англии, в первую очередь Генри Бригсом. В 1624 году он опубликовал работу «Арифметика логарифмов» – таблицы логарифмов для тридцати тысяч чисел с точностью до четырнадцати знаков. (Бригс был первым профессором геометрии в Грешем-колледже – та самая должность, которую позже занимал Карл Пирсон, знакомивший своих слушателей со статистикой.) Как и многое другое в европейской математике XVII века, этот метод был формализован и усовершенствован Ньютоном, так что в итоге мы его называем интерполяционным методом Ньютона. В сочинениях Фарра нет никаких свидетельств, что он знал что-нибудь об этой истории. Хорошие идеи в математике часто возникают естественным образом, когда реальные проблемы мира создают потребность в их появлении.

Работа Бригса не исчерпала проблему логарифмов. Таблицы – вещь конечная, и всегда может оказаться, что вам нужен логарифм какого-то числа, лежащего между числами, включенными в «Арифметику логарифмов». Гениальность метода разностей состоит в том, что он позволяет получать оценки для весьма сложных функций, например косинусов и логарифмов, используя только операции сложения, вычитания, умножения и деления, поэтому при необходимости вы всегда можете заполнить пробелы между числами, указанными в книге. Однако, как демонстрирует пример с квадратными корнями, вам придется много складывать, вычитать, умножать и делить – и это при том, что вы изучаете всего лишь разности разностей! Чтобы получить еще лучшее приближение, вам могут понадобиться разности разностей разностей или даже разности этих тройных разностей, а то и дальше, пока у вас не закружится голова.

Вам не захочется делать это вручную. Возможно, вам понадобится какой-то механический вычислитель, который будет считать эти разности вместо вас. Это приводит нас к Чарльзу Бэббиджу, который был очарован автоматами с самого детства, когда «человек, назвавший себя Мерлином»[424] позволил мальчику войти к себе в мастерскую и показал свое самое гениальное механическое творение. Позже Бэббидж вспоминал: «Восхитительная танцовщица[425] с птицей на указательном пальце правой руки, которая вертела хвостом, хлопала крыльями, открывала клюв. Эта дама принимала удивительно очаровательные позы. Ее глаза были полны воображения и совершенно неотразимы».

В 1813 году Бэббиджу исполнился 21 год и он изучал математику в Кембридже. Вместе со своим другом Джоном Гершелем (который превзошел Бэббиджа в исследованиях и позднее изобрел цианотипию, которая стала использоваться для получения светокопий) он основал математическое общество – своеобразную пародию на множество студенческих обществ, горячо споривших о правильном толковании Писания. Задачей их общества было возвысить систему математических обозначений Лейбница над системой, которой пользовался местный герой – Ньютон. Это аналитическое общество быстро переросло свое сатирическое происхождение и превратилось в настоящий интеллектуальный салон, нацеленный на перенос новых идей из Франции и Германии в страну, которая после Ньютона стала чем-то вроде математического захолустья.

«Однажды вечером[426], – вспоминает Бэббидж в мемуарах, – я сидел в комнатах аналитического общества в Кембридже, склонив голову в каком-то мечтательном настроении над лежавшей передо мной открытой таблицей логарифмов. Другой член общества, войдя в комнату и увидев полусонного меня, воскликнул: “Бэббидж, о чем грезишь?” – на что я ответил: “О том, что все эти таблицы (указав на логарифмы) могут вычислять машины”».

Бэббидж, как и его вдохновитель Мерлин, быстро превратил мечту в медь и дерево. Его машина, которую теперь считают первым механическим компьютером, умела вычислять логарифмы с помощью метода разностей, поэтому он и назвал ее «Разностной машиной».

Существует одно огромное различие между работой Великого Вычислителя Корней и работой Фарра. Когда мы оценивали квадратные корни, мы находили значения, лежащие между уже известными нам корнями, – такой процесс называется интерполяцией. Фарр, используя известные данные по числу больных коров, пытался экстраполировать – оценивать значение функции в будущем, за пределами диапазона имеющихся данных. Экстраполяция сложна и имеет много подводных камней[427]. Представьте, что произойдет, если с помощью нашего вечериночного трюка мы возьмемся оценивать корень из 49, то есть из числа, которое больше тех двух чисел, что мы использовали в качестве исходных данных. Как вы помните, наша приближенная оценка состояла в том, что корень увеличивается на 1/11 каждый раз, когда число растет на 1. Поскольку 49 превосходит 25 на 24, то корень из него должен быть на 24/11 больше, чем 5, или примерно 7,18. Истинное значение равно 7. А как насчет 100? Оно больше 25 на 75, так что корень из 100 должен быть 5 + 75/11 ≈ 11,82. Настоящее значение 10. Теперь этот трюк плохо пахнет!

Вот в чем опасность экстраполяции. Она становится менее надежной, когда вы отходите от известных данных, на которых строятся ваши разности. И чем глубже вы погружаетесь в разности разностей разностей, тем страннее становятся экстраполяции.

Именно это произошло с Кевином Хассеттом. Хотя он не изучал эпидемиологию XIX века, использованный им метод «кубической экстраполяции» основывался на том же эвристическом рассуждении[428], которое применял Уильям Фарр для моделирования чумы. Его модель предполагала, что отношение между отношениями между отношениями последовательных данных останется постоянным на протяжении всей эпидемии. (Вам не нужно читать старинные статьи по истории медицины для реализации этой стратегии, сегодня достаточно нажать несколько клавиш в Excel.) Кривая Хассетта примерно соответствовала ходу эпидемии в прошлом – смертность от COVID-19 в США действительно достигла пика как минимум в краткосрочной перспективе, – однако он существенно ошибался относительно устойчивости эпидемии при экстраполяции этих данных на будущее.