Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ПРЕКРАТИТЕ ПИНАТЬ ДОНАЛЬДА ДАКА

Традиционную точку зрения на джерримендеринг, сам того не подозревая, некогда высказал судья Поттер Стюарт, – разумеется, совершенно по иному юридическому поводу: «Вы узнаёте его, когда видите»[617]. Абсолютно верно: существует несколько избирательных округов весьма странной формы. Например, четвертый избирательный округ Иллинойса по выборам в конгресс – «наушники», где две области соединены узкой полоской автодороги, или вот эта красота из Пенсильвании, известная в народе как «Гуфи, пинающий Дональда Дака»[618].

Седьмой избирательный округ Пенсильвании определен таким образом, чтобы охватить достаточное количество рассеянных республиканцев и сформировать район, благоприятствующий Великой старой партии[619]. Две основные области связаны только посредством территории больницы, расположенной на кончике ноги Гуфи. Шея Гуфи – просто автостоянка[620].

В 2018 году этот избирательный округ был забракован Верховным судом Пенсильвании как пример партийного джерримендеринга, зашедшего слишком далеко: это решение – победа честных выборов и относительно округлых форм. Общепринятое мнение при реформировании перераспределения избирательных округов сводится к тому, что для предотвращения эксцессов достаточно потребовать, чтобы округа имели «разумную» форму, ограничивая тем самым возможности законодателей мошенничать. В конституциях многих штатов даже есть положения, предписывающие избегать создания избирательных округов, напоминающих по форме диснеевские драки. Например, Висконсин требует, чтобы округа были «максимально компактными». Но что конкретно это означает? Законодатели так и не пришли к единому мнению, а попытки определить, какие формы считать «компактными», иногда приводят к еще большей путанице. В 2018 году избиратели Миссури провели референдум с целью внести поправку в конституцию: «Компактные избирательные округа – это округа в форме квадрата, прямоугольника или шестиугольника в той степени, в какой это допускается природными или политическими границами». Ну, прежде всего, квадрат – это вид прямоугольника. А что Миссури имеет против треугольников, пятиугольников и неправильных четырехугольников? (Моя личная теория: штат Миссури просто стыдится своей формы трапеции и теперь пытается это компенсировать.)

Геометрия действительно предлагает некоторые варианты измерения компактности какой-нибудь фигуры. Ваша интуиция, вероятно, говорит, что у очень хитроумных фигур (вроде бывшего седьмого избирательного округа Пенсильвании) граница замыкает площадь очень неэффективно: она слишком длинная, сложная и путаная. Возможно, нам нужны фигуры, у которых периметр не слишком велик по сравнению с их площадью.

Вероятно, ваша первая мысль – использовать отношение: какая площадь приходится на каждый километр периметра. Чем выше результат, тем лучше. Однако с этой идеей возникает проблема. Маленький квадрат размером 4 на 4 километра имеет периметр 16 и площадь 4 × 4 = 16. Поэтому отношение площадь / периметр равно 16 / 16 = 1. А что, если мы увеличим квадрат так, чтобы его стороны были по 40 километров? Тогда периметр составит 160, площадь 1600, а наш показатель улучшится, поскольку 1600 / 160 = 10.

Это неприятная ситуация. Степень компактности квадрата не должна зависеть от его размера! Точно так же она не должна зависеть от того, измеряем мы его размер в милях, километрах или фарлонгах! Какую бы меру компактности мы ни использовали, она должна быть тем, что геометры называют инвариантом[621], то есть не должна меняться при перемещении, повороте, расширении или стягивании. Когда мы передвигаем или вращаем область, ее периметр и площадь не меняются, так что проблемы нет. Но когда мы увеличиваем ее с коэффициентом 10, периметр увеличивается в 10 раз, а площадь – в 100 раз. Это подсказывает, что лучше использовать другое отношение:

площадь / периметр2,

которое не меняется при увеличении или уменьшении площади территории. Кстати, удобный способ отслеживать такие вещи – добавлять единицы измерения. Периметр вашего 40-километрового квадрата – 160 километров, а его площадь – 1600 квадратных километров, поэтому площадь, деленная на периметр, – это не просто 10, а 10 километров, то есть не число, а длина.

Вышеуказанное отношение называют оценкой Полсби – Поппера – по имени двух юристов, которые осознали ее удобство в 1990-е, однако само понятие старше. Для круга радиуса r периметр равен 2πr, а площадь πr2, так что этот показатель равен:

(πr2) / (2πr)2 = πr2 / 4π2r2 = 0,079…

Обратите внимание, что ответ вообще не зависит от радиуса круга! Радиус r пропал. Вот так работает инвариантность. То же самое справедливо для квадрата: если длина его стороны d, то периметр 4d, площадь d2, поэтому оценка Полсби – Поттера равна:

d2 / (4d)2 = d2 / 16d2 = 1 / 16 = 0,0625

и не зависит от длины стороны квадрата. Показатель для квадрата получился несколько меньше, чем 1/4π. На самом деле 1/4π – это наилучший показатель для любых возможных форм! Это вполне согласуется с нашим интуитивным представлением о том, насколько большой может быть площадь фигуры, если зафиксировать ее периметр. Положите на стол веревочку в виде петли и попробуйте расположить ее так, чтобы внутри оказалось как можно больше материала. Вам не кажется, что она примет круглую форму? Этот факт был известен и доказан не вполне нестрогим образом (как поступало большинство древних математиков) Зенодором, жившим примерно через век после Евклида. Математики называют это изопериметрическим равенством. Его строгое доказательство в соответствии с современными требованиями появилось только в XIX веке[622].

Таким образом, вы можете рассматривать оценку Полсби – Поппера как показатель того, насколько кругообразен избирательный участок. И в этот момент уже можете засомневаться в том, что это действительно хорошая идея. Неужели кругообразный район лучше квадратного? А чем не угодил прямоугольник вроде этого:

оценка для которого равна 4 / 100 = 0,04?

Раз уж на то пошло, а что мы вообще подразумеваем под периметром? Границы реальных территорий – это частично прямые линии, проведенные геодезистами, а частично искривленные линии вроде побережий, которые фрактальны по природе и искривлены в любом масштабе. Поэтому их длина увеличивается, когда вы измеряете все их более мелкие изгибы и выступы. Однако качество избирательного округа не должно зависеть от размера вашей рулетки!

Попробуем иной подход. Во многих случаях наиболее удобные геометрические фигуры – выпуклые. Если в общих чертах, то выпуклая фигура – та, что выгибается только наружу:

но не вовнутрь:

Однако есть и приятное официальное определение: фигура называется выпуклой, когда любой отрезок, соединяющий две ее точки, полностью лежит внутри фигуры. (Это определение имеет смысл в двух измерениях или в трех и даже в большем числе измерений, намного превышающих вашу способность визуализировать выгибание наружу или внутрь.) Вы можете увидеть, как вторая фигура не проходит тест с помощью отрезка:

Выпуклой оболочкой фигуры называется объединение всех отрезков, соединяющих все пары ее точек:

Вы можете представлять ее как «заполнение всех невыпуклых мест» или, с более физической точки зрения, как результат максимально плотного обтягивания фигуры тонкой пластиковой пленкой. Выпуклая оболочка мяча для гольфа – это сфера; все углубления на его поверхности (которые делают по соображениям аэродинамики) будут заполнены[623]. Выпуклая оболочка вашего собственного тела будет плотно прилегать, если вы сожмете ноги, а руки прижмете к бокам; однако если вы расставите их в стороны, то выпуклая оболочка станет гораздо больше.

Давайте определим оценку «Населенный многоугольник» для какого-нибудь избирательного округа: это отношение между количеством проживающих в нем людей и числом людей, проживающих в его выпуклой оболочке. Выпуклая оболочка района из фигур Гуфи и Дональда Дака включает всех людей, которые живут между ними, поэтому наша оценка для этого округа будет плохой.

Оценка «Населенный многоугольник» лучше оценки Полсби – Поппера, потому что учитывает фактическое место проживания людей. Однако есть и более глубокая проблема с использованием компактности в качестве тормоза для джерримендеринга: это не работает. Возможно, во времена бумажных карт людям приходилось прибегать к причудливым формам, чтобы получить желаемое распределение избирателей, но теперь это не так. Программное обеспечение, которое может за полдня оценить миллионы карт, позволит вам отыскать те, которые одновременно будут и красивой формы, и нужной вам конфигурации. Такие нечестные округа[624] вокруг Милуоки будут выглядеть невинными квазипрямоугольниками, которые получили бы приемлемые оценки по любым методам определения компактности.

Сандра Дэй О’Коннор однажды написала[625], что, когда дело касается избирательных округов, «внешность имеет значение»: «саламандрообразный» округ создает впечатление, что тут задействованы отнюдь не демократические идеалы. Если вы спросите меня, я скажу, что эти идеалы не укрепятся, если вы замените Гуфи и Дональда картой, которая не так оскорбительна для глаз, но столь же политически необъективна. На мой взгляд, существует несколько веских причин делать округа компактными: например, более короткий путь к офису представителя или более схожие политические приоритеты электората. Однако компактность ограничивает джерримендеринг просто потому, что она и есть ограничение. Чем меньше выбор у составителей карты, тем ниже вероятность, что они найдут вариант с существенной подтасовкой. Дело не в том, что компактным округам присуща какая-то внутренняя справедливость; просто у вас остается гораздо меньше вариантов разбиения штата на избирательные округа, если они должны быть примерно округлыми.

Сейчас мы знаем, что традиционных мер компактности недостаточно, чтобы удержать партии от подтасовки карт в свою пользу, равно как недостаточно и требования о равном по численности населении в деле Рейнольдс против Симса. Конечно, можно скорректировать меры компактности и ввести более строгие ограничения, или потребовать строгого соблюдения закона о нарушении границы административных округов, или просто придумать произвольные правила («количество зарегистрированных избирателей в каждом округе должно быть простым числом»). Любое дополнительное ограничение лишает законодателей места для маневра в их десятилетней жульнической игре. Однако такие произвольные правила нецелесообразны с политической точки зрения. Если цель – прекратить джерримендеринг, то и стратегию нужно нацеливать непосредственно на него. Это означает, что нам нужна мера для карты, которая сообщает не только о том, насколько равномерно населены избирательные округа и насколько они круглые, но и насколько они подтасованы. Эта еще более сложная задача. Но геометрия поможет нам с нею разобраться.