Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Глава 11. Этот ужасный закон увеличения

Совет экономических консультантов (CEA) при президенте США 5 мая 2020 года опубликовал диаграмму, отображающую количество смертей от COVID-19 на начало мая 2020 года, а также несколько потенциально возможных кривых, которые примерно соответствуют таким данным.

Одна из этих кривых, названная на диаграмме кубической аппроксимацией, представляла позицию крайнего оптимизма, показывая, что смертность от COVID-19 упадет практически до нуля за две недели. Эту кривую откровенно высмеяли, особенно после того, как выяснилось, что она исходит от советника Белого дома Кевина Хассетта. Ранее Хассетт больше всего прославился как соавтор книги Dow 36,000: The New Strategy for Profiting from the Coming Rise in the Stock Market («Доу 36 000: новая стратегия заработка на предстоящем росте фондового рынка»), опубликованной в октябре 1999 года. В ней утверждалось, что, исходя из прошлых тенденций, на фондовом рынке ожидается колоссальный рост цен. Сейчас мы знаем, что произошло с людьми, поспешившими вложить свои сбережения в компанию Pets.com. Подъем остановился вскоре после выхода книги Хассетта, а затем рынок начал падать; и только через пять лет индекс Доу – Джонса вернулся к максимуму 1999 года.

Кривая кубической аппроксимации была аналогичным завышенным обещанием. Смертность в США в мае и июне упала, но болезнь не исчезла.

С математической точки зрения в этой истории интересно не то, что Хассетт ошибся, а то, в чем именно состояла ошибка. Понять это – единственный способ овладеть умением избегать таких ошибок в будущем (помимо ограниченной в применения стратегии «не верьте Кевину Хассетту»). Чтобы выяснить, что неладно с кубической аппроксимацией, давайте обратимся к вспышке чумы крупного рогатого скота в Британии в 1865–1866 годах.

Это вирусное заболевание коров (точнее, считалось таковым до 2011 года, когда было полностью искоренено в результате многолетней кампании[412]), которому подвержены также буйволы, жирафы и другие парнокопытные. Болезнь зародилась в Центральной Азии, вероятно еще до документированной истории, и разнесена по миру гуннами и монголами. Некоторые полагают, что это пятая библейская казнь, от которой пострадали упрямые египтяне. Примерно в середине Средних веков[413] какая-то разновидность этого вируса преодолела межвидовой барьер и распространилась среди людей, ее мы сейчас называем корью. Как и корь, чума крупного рогатого скота крайне заразна, а это означает, что она может очень быстро распространиться в популяции. Партия зараженного скота прибыла в порт Халл в восточном Йоркшире 19 мая 1865 года[414]. К концу октября[415] заболело почти двадцать тысяч коров. Роберт Лоу, член парламента, а впоследствии канцлер казначейства и министр внутренних дел, предупреждал палату общин словами, которые звучат неприятно знакомо в 2020 году: «Если мы не справимся с заболеванием к середине апреля, приготовьтесь к бедствиям, выходящим за рамки любых расчетов. Вы смотрите на ситуацию в зачаточном состоянии. Подождите – и увидите, как тысячи станут десятками тысяч, поскольку нет причин, по которым ужасный закон увеличения, работавший до сих пор, не должен работать и впредь». (Лоу был знаком с математикой и разбирался в геометрической прогрессии).

С ним не согласился Уильям Фарр – ведущий британский врач середины XIX века, создатель управления демографической статистики в стране и сторонник реформ здравоохранения в густонаселенных городах. Если вы слышали это имя, то, вероятно, в связи с одним выдающимся успехом ранней эпидемиологии, когда Джон Сноу обнаружил источник лондонской вспышки холеры в 1854 году – водозаборную колонку на Брод-стрит. Правда, Фарр представлял[416] ошибавшуюся сторону этого спора – традиционную точку зрения британских медиков, что холера распространяется не живыми организмами, а забродившими миазмами от грязных вод Темзы.

Именно Фарр в 1866 году выступил против общепринятого мнения. Он написал письмо в лондонскую газету Daily News, настаивая на том, что чума крупного рогатого скота не только не угрожает уничтожить все его поголовье, но и вот-вот начнет исчезать сама. Фарр писал: «Никто не умеет высказать предложение яснее мистера Лоу, однако ясность предложения – это еще не доказательство его истинности… Математическая демонстрация допускает, что закон увеличения, который действовал до сих пор, влечет не то, что “тысячи станут десятками тысяч”, а обратное: это заставляет нас ожидать, что в марте начнется спад». Фарр сделал численные прогнозы на ближайшие пять месяцев – с точностью до одной коровы. К апрелю, по его словам, число случаев чумы должно снизиться до 5226, а к июню – всего до 16.

Парламент проигнорировал заявление Фарра, а медицинские круги отвергли его. Медицинский журнал British Medical Journal опубликовал короткий пренебрежительный ответ: «Мы рискнем сказать[417], что доктор Фарр не найдет ни одного исторического факта для подтверждения своего вывода о том, что через девять или десять месяцев болезнь может незаметно сойти на нет: может пройти по естественной кривой».

Они рискнули зря! На этот раз Фарр оказался прав. Как он и предсказал, количество случаев заболевания снизилось весной и летом, а к концу года вспышка была ликвидирована.

Фарр свел свою математическую демонстрацию к краткой сноске, правильно предположив, что читатели Daily News предпочтут не видеть голые формулы. Нам незачем быть такими осторожными. Но чтобы увидеть, что делал Фарр, мы должны вернуться к началу его карьеры. Летом 1840 года он подал руководителю службы регистрации актов гражданского состояния отчет с указанием причин и распределения 342 529 известных смертей, которые произошли в Англии и Уэльсе в 1838 году. Он убедительно хвастался, что «это более обширные сведения[418], чем когда-либо публиковавшиеся в этой или любой другой стране». Среди прочего он фиксировал смерти от рака, тифа, белой горячки, родов, голода, старости, самоубийства, апоплексического удара, подагры, водянки и чего-то с ужасающим названием «гельминтозная лихорадка доктора Масгрейва».

Фарр особо отмечает, что уровень заболеваемости туберкулезом (тогда его именовали чахоткой) у женщин выше, чем у мужчин, – как он полагает, по причине ношения корсета. Здесь перечисление статистических данных сменяется страстным призывом к реформам: «31 090 английских женщин умерли за год от этой неизлечимой болезни! Разве этот впечатляющий факт не побудит высокопоставленных и влиятельных лиц вывести своих соотечественниц из заблуждения и заставить их отказаться от практики, которая уродует тело, сдавливает грудную клетку, вызывает нервные и другие расстройства и, без сомнения, способствует появлению в теле неизлечимой чахоточной болезни? Девушки нуждаются в искусственных костях и бандажах не больше, чем юноши». (Фарр здесь не раскрывает, во всяком случае напрямую, что тремя годами ранее от туберкулеза умерла его жена.)

Этот отчет сегодня известен в основном из-за заключительного раздела, касающегося эпидемии оспы 1838 года; именно в нем Фарр впервые обращается к развитию эпидемий, которые, по его словам, «внезапно поднимаются[419], как туман с земли, и обрушивают опустошение на народы, чтобы исчезнуть так же быстро и неощутимо, как и появились». Цель Фарра как статистика – придать какой-то числовой смысл этим неосязаемым вещам, пусть даже истинные причины заболевания и неизвестны. (В одной сноске он упоминает теорию, что эпидемии вызывают «крошечные насекомые[420], передающиеся от одной особи к другой через атмосферу», однако отвергает эту гипотезу на том основании, что лучшие микроскописты того времени не наблюдали таких «анималькулюсов».)

Фарр ежемесячно записывал количество смертей от оспы, пока эпидемия не пошла на спад. Числа выглядели примерно так:

4365, 4087, 3767, 3416, 2743, 2019, 1632.

Фарр предположил, что это снижение, как и многие другие природные процессы, будет происходить по закону геометрической прогрессии, когда отношение двух соседних членов остается постоянным. Первое отношение 4365 / 4087 = 1,068. Однако второе немного отличается: 4087 / 3767 = 1,085. Последовательность отношений выглядит так:

1,068, 1,085, 1,103, 1,245, 1,359, 1,237.

Это явно не одно и то же: числа даже не близки. Похоже, они растут (по крайней мере, до последнего члена), а это нарушает предполагаемый закон. Однако Фарр не был готов сдаться и отказаться от охоты за геометрической прогрессией. Что, если сами эти отношения (упорно непостоянные) растут геометрически? Это уже в каком-то смысле метауровень, поскольку мы спрашиваем, всегда ли одинаковы отношения отношений. Так ли это? Мы начинаем с 1,085 / 1,068 = 1,016 и получаем далее такой ряд:

1,016, 1,017, 1,129, 1,092, 0,910.

Честно скажу, что эта последовательность не кажется мне постоянной, но в то же время в ней нет явного убывания или возрастания, и для Фарра этого было достаточно. Чуть-чуть изменив ее, он смог построить последовательность:

4364, 4147, 3767, 3272, 2716, 2156, 1635,

которая вполне соответствовала данным о смертности от оспы, а отношения отношений в ней действительно были одинаковыми – 1,046. (Не кажется ли вам, что немножко корректировать числа подозрительно? На самом деле нет. Реальные данные запутанны и редко следуют – а когда дело касается людей, то я бы сказал «никогда» – какой-то определенной математической кривой с точностью до n-го знака.) И Фарр утверждал, что это правило 1,046 соответствует реальным данным достаточно хорошо для того, чтобы называться законом эпидемии.

Эта кривая показывает модель Фарра для эпидемии оспы, а точки – фактическое количество смертей для каждого месяца; построенная им плавная линия достаточно хорошо соответствует реальным данным.

Наверное, вы уже предположили, что должен был сделать Фарр с данными по чуме крупного рогатого скота. Однако, скорее всего, вы ошибаетесь! У Фарра были данные для первых четырех месяцев вспышки:

октябрь 1865: 9597;

ноябрь 1865: 18 817;

декабрь 1865: 33 835;

январь 1866: 47 191.

Он определил, что отношение между числом случаев заболевания для соседних месяцев равно 1,961, 1,798 и 1,395. Если бы это был «ужасный закон увеличения», о котором Лоу предупреждал парламент, то все эти числа были бы одинаковыми. На самом же деле они уменьшались, и это говорило Фарру о наличии некоторого ослабления. Тогда он взял отношения отношений:

1,961 / 1,798 = 1,091,

1,798 / 1,395 = 1,289,

но на этом не остановился. Эти отношения отношений не походили на константу: второе было заметно больше первого. Поэтому он нашел отношение отношений отношений:

1,289 / 1,091 = 1,182.

Единственное число 1,182 однозначно является постоянной последовательностью, поскольку тут всего одно число. И, как всегда уверенный в себе, Фарр заявил, что оно должно быть законом, который управляет всем: это отношение отношений отношений должно определять весь ход эпидемии чумы. Поскольку последнее отношение отношений равнялось 1,289, то следующее должно быть 1,289 × 1,182 ≈ 1,524. Это означает, что следующим в убывающей последовательности отношений после 1,961, 1,798, 1,395 будет число 1,395 / 1,524 ≈ 0,915. Другими словами, болезнь пойдет на убыль! Фарр пришел к выводу, что в феврале произойдет 0,915 × 47 191, то есть примерно 43 000 новых случаев.