Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Глава 8. Вы – свой нольюродный брат, и другие карты

Что такое окружность? Вот официальное определение.

Окружность – это совокупность точек на плоскости, находящихся на определенном расстоянии от фиксированной точки, называемой центром.

Прекрасно, а что такое расстояние?

Мы уже сталкивались с такой проблемой. Расстояние между точками может быть расстоянием по прямой. Но в реальности, если кто-то спрашивает вас, как далеко вы от его дома, вы можете сказать: «О, всего в пятнадцати минутах ходьбы». И это тоже понятие расстояния. Если рассматривать расстояние как «время, необходимое для преодоления», то окружности могут выглядеть так:

Эти заостренные «морские звезды» представляют собой концентрические окружности, которые обозначают точки, находящиеся ровно в десяти, двадцати, тридцати, сорока и пятидесяти минутах езды на трамвае от их общего центра – площади Пикадилли-Гарденс в Манчестере (Англия). Карты такого рода называются изохронными[317].

Различная геометрия города дает различные виды окружностей. На Манхэттене (слоган: «Я здесь хожу!») люди перемещаются пешком, и, если кто-то спрашивает вас, как далеко вы от дома, вы называете число кварталов. Окружность из точек, находящихся на расстоянии четырех кварталов от центра, выглядит как квадрат, поставленный на один из своих углов.

(Смотрите, мы таки умудрились квадрировать круг!) И любая изохронная карта покажет кучу концентрических квадратов, которые в данном контексте представляют собой окружности вокруг центральной точки.

Везде, где есть понятие расстояния, есть и понятие геометрии, и сопутствующее понятие окружности. Например, мы привыкли к словосочетанию «дальний родственник» и из геометрии генеалогического древа можем вывести это понятие расстояния. Вы со своим братом или сестрой находитесь друг от друга на расстоянии 2, потому что, для того чтобы добраться от вас до него или до нее, нужно подняться на одну ветвь к одному из родителей, а затем спуститься на один шаг к своему брату/сестре.

Расстояние до вашего дяди равно 3: сначала один шаг до вашего родителя, который, как мы только что выяснили, находится на расстоянии 2 от своих брата или сестры. Расстояние до вашего двоюродного брата (или двоюродной сестры) равно 4: два шага до бабушки или дедушки, а потом два до кузена или кузины. Вы можете аналогично поступить для любого уровня родства и получить красивую формулу:

расстояние до вашего n-юродного брата = 2n,

поскольку n-юродный брат – это человек, с которым у вас общий предок находится на n уровней выше вас.

Вы являетесь собственным нольюродным братом, поскольку ваш общий родственник – это вы и есть, ноль шагов вверх! (То же самое говорит и формула: расстояние от вас до себя равно 2 × 0 = 0.) Что касается ваших родителей, то у них нет общего предка (если только они не из истинно аристократического клана), зато есть общий родственник – вы! – ниже по дереву, так сказать, на – 1 уровень вверх. Так что ваши родители друг другу – «минус-одноюродные» брат и сестра. Ваша минус-двоюродная сестра – это человек, с кем у вас общий внук, например теща вашего сына. Такие сложные отношения, называемые «самдхи» на хинди, «консуэгро» на испанском, «атони» на языке кикамба (на котором говорит народ камба в Кении), «мехутаним» на иврите и «махатунем» на идише[318], не имеют названия в английском языке, который бедноват в сфере именования родственных отношений.

Если представить людей своего поколения из моей семьи в виде точек на некоторой плоскости, то круг радиуса 2 будет включать меня и всех моих родных братьев и сестер[319]; круг радиуса 4 – меня, всех моих братьев и сестер и всех двоюродных братьев и сестер; круг радиуса 6 – всех вышеперечисленных плюс моих троюродных братьев и сестер. И здесь мы видим очаровательно странную особенность «кузеновой» геометрии. Как выглядит круг радиуса 4 вокруг моей двоюродной сестры Дафны? В него входит Дафна, ее родные и двоюродные братья и сестры – другими словами, все внуки моих общих с Дафной бабушки и дедушки. Но ведь это в точности тот же круг радиуса 4, что и у меня! Так кто же находится в его центре – я или Дафна? Никуда не денешься – мы оба. В этой геометрии каждая точка круга является его центром.

Треугольники в «кузеновой» плоскости тоже отличаются от тех, к которым мы привыкли. Мы с сестрой находимся на расстоянии 2 друг от друга, и каждый из нас находится на расстоянии 4 от нашей кузины Дафны, – следовательно, мы образуем равнобедренный треугольник. Представьте себе: любой треугольник в этой плоскости – равнобедренный. Предлагаю вам самостоятельно убедиться, что это так. Странные геометрии наподобие этой называются неархимедовыми. Они могут показаться уродливыми научными курьезами, тем не менее встречаются в математике регулярно. Например, существует «2-адическая» геометрия целых чисел, в которой расстояние между двумя числами – величина, обратная наибольшей степени двойки, на которую делится их разность. Серьезно, оказывается, это хорошая идея.

Практически не бывает настолько абстрактных контекстов, чтобы там нельзя было изобрести понятие расстояния, а за ним и сопутствующую геометрию. Дмитрий Тимочко, теоретик музыки из Принстона, пишет целые книги о геометрии аккордов[320] и о том, как композиторы инстинктивно подбирают кратчайшие пути от одного музыкального положения к другому. Даже язык, на котором мы говорим, обладает определенной геометрией, и ее построение ведет нас к карте всех слов.