Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

КАКОЕ У ВАС ЧИСЛО ЭРДЁША – БЕЙКОНА?

При переходе от геометрии плоской карты к геометрии сферы уже появляется довольно богатая математика. Однако давайте обратимся к еще более радикальным отклонениям от книги Евклида. Как насчет геометрии кинозвезд? Я не об изгибах и плоскостях их тел (хотя о них написано предостаточно), а о сети, которую образуют их связи при совместной работе. Чтобы актеры обладали геометрией, нам нужна метрика, показывающая, насколько далеко они отстоят друг от друга. Для этого введем расстояние по совместному участию в фильмах. Будем считать, что между двумя актерами есть соединяющее звено, если они снимались в одном фильме. Джордж Ривз снимался в фильме «Отныне и во веки веков» вместе с Джеком Уорденом. Уорден сыграл вместе с Киану Ривзом в фильме «Дублеры». Следовательно, расстояние между Джорджем Ривзом и Киану Ривзом равно 2. Строго говоря, максимум 2, ведь нам надо проверить, нет ли между ними более короткого пути в одно звено (если бы они снимались в одном фильме). Впрочем, Джордж Ривз умер за пять лет до рождения Киану, так что расстояние действительно равно 2.

Однако нам вовсе не обязательно брать киноактеров: такое же расстояние можно определить для любой сети, где происходит совместная работа. На самом деле эту идею намного раньше применили к математикам. Мы считаем, что два математика соединены звеном, если они написали совместную статью. Геометрия математиков стала игрой на вечеринках после того, как Каспер Гоффман написал в 1969 году в журнале American Mathematical Monthly заметку на полстранички под названием «Какое у вас число Эрдёша?». Ваше число Эрдёша – это расстояние до математика Пала Эрдёша, который считается центральным элементом такой сети благодаря своему огромному числу соавторов – 511 по последним подсчетам (несмотря на то что Эрдёш умер в 1996 году, он периодически образует новые звенья, поскольку другие авторы все еще пишут статьи, пользуясь идеями, которые почерпнули во время общения с ним). Эрдёш был знаменитым эксцентричным ученым, который не имел обычного жилья, не умел (или якобы не умел) готовить и стирать[510], время от времени появляясь в доме у того или иного ученого, доказывая теоремы вместе с хозяином и потребляя лошадиные дозы стимуляторов. (Однажды он отказался присоединиться к группе математиков за чашечкой послеобеденного кофе, объяснив: «У меня есть кое-что получше, чем кофе»[511].)

Ваше число Эрдёша – это длина кратчайшей цепочки, соединяющая вас с венгерским ученым. Если вы – Эрдёш, то ваше число Эрдёша равно 0; если вы не Эрдёш, но написали с ним совместную работу, то ваше число Эрдёша равно 1; если вы не писали совместной статьи, но писали ее с человеком, чье число Эрдёша равно 1, то ваше число Эрдёша равно 2 и так далее. Эрдёш связан практически со всеми математиками, когда-либо писавшими статьи с соавторами, так что число Эрдёша есть практически у каждого математика. Мастер шашек Марион Тинсли имел число Эрдёша 3; у меня оно такое же: в 2001 году я написал статью о модулярных формах с Кристофером Скиннером, который в 1993 году, будучи стажером в Bell Labs, написал статью о дзета-функциях с Эндрю Одлыжко, который написал три статьи с Эрдёшем в 1979–1987 годах. Расстояние между Тинсли и мною равно 4[512]. Мы образуем равнобедренный треугольник.

Этот треугольник выглядит несколько сжатым сверху, потому что Тинсли за свою короткую математическую карьеру написал всего одну совместную статью со своим учеником Стэнли Пейном, так что это звено – и часть цепочки от Тинсли до Эрдёша, и часть цепочки от Тинсли до меня.

А теперь изменим масштаб, чтобы нарисовать 400 000 математиков, которые когда-либо публиковали статьи. Каждую пару соавторов соединим линией-звеном.

Большой кусок на рисунке (на специализированном языке это большая «компонента связности») – это 268 000 математиков, которые каким-то образом соединены с Эрдёшем. То, что похоже на пыль вокруг, – математики, которые никогда не делали совместных публикаций; их примерно 80 000. Остальные математики разбиты на мелкие кластеры, самый большой из которых – это 32 специалиста по прикладной математике из Симферопольского университета в Крыму. Каждый математик в наибольшей компоненте соединен с Эрдёшем цепочкой не более чем из тринадцати звеньев; если у вас вообще есть какое-то число Эрдёша, то оно не превосходит 13.

Может показаться странным, что получилась не куча компонент разной величины, а одна гигантская компонента и множество почти полностью разобщенных математиков-одиночек. Однако мир устроен именно так, и мы знаем об этом факте благодаря самому Эрдёшу. Понятие числа Эрдёша не просто дань общительности ученого; это также дань уважения новаторской работе о статистических свойствах больший сетей, выполненной им совместно с Альфредом Реньи. Вот что они показали. Предположим, у вас есть миллион точек, где под миллионом подразумевается «некое большое число, которое мне незачем уточнять». Допустим, выбрано какое-то число R. Чтобы сделать из этих точек сеть, вы решаете одни пары соединить, а другие – нет; при этом все осуществляется абсолютно случайно – любая пара точек соединяется ребром с вероятностью R на миллион. Скажем, R = 5. Каждую точку можно соединить с миллионом других точек (ну хорошо, с 999 999), но шансы на соединение для каждой всего 5 миллионных. Складывая миллион пятимиллионных, получаем, что каждая точка в среднем соединяется с пятью другими[513]. Число R – среднее число «соавторов» для каждой точки.

Эрдёш и Реньи обнаружили, что существует некое критическое значение. Если R < 1, то сеть практически наверняка распадается на огромное количество несвязных кусков. Однако если R > 1, то с не меньшей уверенностью можно сказать, что получается один гигантский кусок, охватывающий большую часть сети. Внутри этого куска для двух любых точек есть соединяющий путь – как почти у всех математиков есть путь до Эрдёша[514]. Крошечное изменение числа R от 0,9999 до 1,0001 приводит к полному изменению поведения всей сети.

Мы уже видели это. Предположим, что точки – это население Южной Дакоты (а там его как раз около миллиона) и что две точки соединены, если люди контактируют и дышат друг на друга. Это не идеальная модель для распространения инфекции (поскольку не учитывает, что разные люди заразны в разное время), однако вполне приемлемая для консультационной деятельности. Среднее число людей, которых заражает инфицированный человек, равно R; это число срывает свою маску, и оказывается, что оно все время было числом R0. Меньше 1? Болезнь будет локализована в каком-то небольшом фрагменте сети. Больше 1? Она распространится практически повсюду.

Кроме того, Эрдёш знаменит идеей Книги: он любил говорить, что у Бога есть Книга, в которой содержатся самые сжатые, элегантные и наглядные доказательства теорем. Вам не нужно верить в Бога, чтобы верить в Книгу; сам Эрдёш, хотя и вырос в еврейской семье, был далек от религии. Побывав в католическом Университете Нотр-Дам[515], он заметил, что кампус очарователен, но в нем слишком много знаков плюс (то есть крестов)[516]. И тем не менее он пришел практически к тем же взглядам на математическую реальность, что и набожная Хильда Хадсон; она ведь тоже считала, что поистине хорошее доказательство – это случай проявления прямой связи с божественным. Пуанкаре, который не был верующим, но и не насмехался над верой, относился к подобным откровениям более скептически. Он писал, что если бы какое-то трансцендентное существо знало истинную природу вещей, то оно «не смогло бы найти слов[517], чтобы выразить ее; мы не только не можем предвидеть ответ, но, даже если бы он нам был дан, мы бы все равно ничего не поняли».