Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

СКЛАДКА В ПИЦЦЕ

В переводе с греческого слово «геометрия» означает «измерение земли», и именно этим мы сейчас и занимаемся. Задать геометрию на участке земли, множестве людей или множестве лошадей – это, по сути, определить некоторое число для любых двух точек и интерпретировать его как расстояние между ними. Фундаментальная идея современной геометрии состоит в том, что сделать это можно разными способами, и каждый будет означать другую геометрию. Мы уже сталкивались с этим, когда определяли степень родства на генеалогическом дереве. Но даже когда мы рисуем точки на карте, у нас есть несколько геометрий на выбор. Есть геометрия прямых, когда расстояние между любыми двумя городами – это длина отрезка, соединяющего их между собой[496]. А есть геометрия, в которой расстояние между двумя городами определяется так: сколько времени вам понадобится, чтобы добраться от одного населенного пункта до другого в 1872 году, и она более удобна для эпизоотии[497]. В такой метрике (метрика – это термин, который в геометрии используется вместо громоздкого выражения «определение расстояния для каждой пары точек») Скрантон находится дальше от Торонто, чем Нью-Йорк, хотя гораздо ближе по прямой. Вы можете придумывать что угодно – это математика, а не школа! Возможно, ваша метрика – это «расстояние между двумя городами в списке всех городов США в алфавитном порядке», и тогда Скрантон снова станет ближе к Торонто, чем Нью-Йорк.

Идея, что геометрия не фиксирована, а может меняться в соответствии с нашей волей, знакома нескольким поколениям читающих американских детей по следующей картинке:

Это геометрическая демонстрация миссис Чтотут – одной из трех межпланетных ведьм/ангелов, которые помогают трем детям победить космическое зло в фильме «Излом времени»[498]. Как они пересекают вселенную быстрее света? «Мы научились срезать углы где только можно, – поясняет она. – Как в математике».

Муравей находится близко к одному концу нитки, но очень далеко от другого. Однако переместите нить в пространстве вот так:

и расстояние уменьшится почти до нуля, что позволит муравью быстро перебраться с одной руки на другую. «Теперь вы видите, – объясняет миссис Чтотут, – что он оказался здесь без длительного путешествия. Вот так мы и путешествуем». Сгибание нити – та складка, которая дала название книге. Ведьмы называют этот метод «тессерактом». В контексте 1872 года такой метод называется «железной дорогой». Рельсы, соединяющие Чикаго и Сан-Франциско, – это изменение геометрии континента, которое делает две точки гораздо ближе друг к другу, чем мы могли наивно полагать. Но точки могут и отдалиться! Эпизоотия 1872 года добралась до Никарагуа, но не попала в Южную Америку. Причина: Панамский перешеек представлял собой «почти непроходимые болота[499] с крутыми и труднодоступными горами» для потенциальных путешественников. Колумбия и Никарагуа находятся почти рядом на поверхности Земли, но в метрике конных путешествий фактически расположены на бесконечно большом расстоянии друг от друга.

Современный мир буквально покрыт такими складками. Еще до того, как мы узнали о пандемии, коронавирус летал на самолетах между Китаем и Италией, Италией и Нью-Йорком, Нью-Йорком и Тель-Авивом. Если бы мы по какой-нибудь причине не знали о существовании такой вещи, как самолет, то могли бы догадаться об этом по характеру распространения заболевания. И все же стандартная геометрия поверхности планеты по-прежнему играет свою роль. Сильнее всего в США весной 2020 года пострадали не города с международными аэропортами и не путешествующие на авиалайнерах сливки общества, а места, куда можно было доехать из Нью-Йорка на машине. Пандемии распространяются и быстро, и медленно, на каком бы транспортном средстве мы ни перемещались.

«Если выражаться на языке Евклида[500], на языке старомодной геометрии плоскости, – продолжает миссис Чтотут, – то прямая линия – это не кратчайшее расстояние между двумя точками»[501]. Однако в новомодной геометрии мы можем заступиться за Евклида. Какова кратчайшая линия между двумя точками на поверхности Земли, например между Чикаго и Барселоной? Она не может быть прямой (если вы не отличный землекоп), потому что, в отличие от евклидовой плоскости, поверхность Земли изогнута. На поверхности сферы нет прямых линий.

Однако должен быть кратчайший путь. И он может проходить вовсе не там, где вы думаете. Чикаго и Барселона находятся примерно на одной широте – 41 градус. Если вы соедините их прямой линией на карте и будете по ней двигаться, то вам придется проехать по 41-й параллели на восток примерно 4650 километров. Но это много! Кратчайший путь пройдет севернее, по дуге, которая покидает Северную Америку около маленького городка Конш на Ньюфаундленде, где перерабатывают треску, а самая северная точка траектории в Атлантике окажется примерно на широте в 51 градус. Это сократит ваше путешествие больше чем на триста километров.

Идея, что двигаться на запад или восток по широте означает движение по прямой, кажется логичной, но это одно из тех внешне привлекательных утверждений, которые рушатся, как только вы начинаете размышлять, что это значит на самом деле[502]. Предположим, находясь в двух метрах от южного полюса, вы двигаетесь строго на запад. Через несколько секунд вы опишете очень маленькую и очень холодную окружность. У вас не будет ощущения, что вы идете по прямой. Доверьтесь своим чувствам.

Наилучшее представление о прямых на сфере у Евклида было с самого начала: мы просто определяем прямую как кратчайший путь. (На деле это скорее больше похоже на отрезок, который, в отличие от прямой, имеет начало и конец.) Оказывается, все кратчайшие пути на сфере – это части больших кругов, названных так потому, что это самые большие круги, которые можно нарисовать на сфере, – круги, проходящие через две ее противоположные точки[503]. Большой круг – это то, что мы подразумеваем под прямой на сфере. Экватор – это большой круг, а вот остальные параллели – нет. Меридиан вместе со своим продолжением на противоположной стороне планеты тоже составляет большой круг, поэтому движение строго на север или на юг можно назвать движением по прямой. Если вас беспокоят асимметрии между направлениями север – юг и запад – восток, то просто вспомните, что оно заложено в нашем способе определять широту и долготу. Меридианы пересекаются на полюсах, параллели нет. Западного полюса не существует.

Хотя мы могли бы его устроить! Мы можем сделать полюс, где захотим. Например, ничто не мешает нам заявить, что один полюс находится в пустыне Кызылкум в Узбекистане, а другой – в противоположной точке Земли, в южной части Тихого океана. Инженер-программист из Нью-Йорка Гарольд Купер составил такую карту. Почему именно такую? Потому что тогда около дюжины меридианов (или, как называет их Купер, «авеню») проходят вдоль по Манхэттену, а перпендикулярные им параллели – это поперечные улицы. Иными словами, вы можете расширить сетку улиц Манхэттена на остальную часть земного шара[504]. Математический факультет Висконсинского университета находится на углу 5086-й авеню и минус 3442-й Западной улицы, что, возможно, объясняет нашу атмосферу и энергетику.

То, что мы рисуем на своих картах параллели в виде прямых линий, – наследие изобретателя карт Герарда Меркатора[505]. При рождении он был Кремером, но по моде ученых своего времени взял латинизированную версию имени: латинское слово Mercator, как и нижненемецкое слово Kremer, означает «купец, торговец». (Если бы я сделал то же самое, меня звали бы Jordanus Cubitus[506], что звучит неплохо.) Меркатор изучал математику и картографию у фламандского мастера Геммы Фризиуса, написал популярное руководство по начертанию шрифтов, просидел в тюрьме часть 1544 года по подозрению в протестантской ереси, разработал и преподавал курс геометрии в Дуйсбурге, а также создал множество карт. Сегодня его имя известно благодаря карте 1569 года, которую Меркатор назвал Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata («Новое и наиболее полное представление земного шара, приспособленное для использования в навигации»), где он применил то, что мы сейчас называем проекцией Меркатора.

Карта Меркатора была удобна для моряков, поскольку их не волновал кратчайший путь: им было важно не заблудиться. В море вы с помощью компаса можете выдерживать курс под определенным углом к направлению на север (точнее, на магнитный полюс, который от северного не так далеко). В проекции Меркатора меридианы были вертикальными прямыми, параллели – горизонтальными, а все углы на карте – такими же, как и в реальной жизни. Поэтому если курс лежит строго на запад, или на 47 градусов от северного направления, или куда-то еще и вы намерены его придерживаться, то ваш путь (который называется локсодромой) на карте Меркатора будет изображен в виде прямой линии. Если у вас есть карта и транспортир, то вы легко увидите, в какую точку берега приведет вас локсодрома.

Однако карта Меркатора отображает некоторые вещи неверно, ведь меридианы на ней параллельны и не пересекаются. На самом же деле они встречаются дважды – на полюсах. Следовательно, на севере и на юге с картой Меркатора что-то должно происходить не так. Действительно, картограф обрезал свою карту по параллелям, проходящим недалеко от полюсов, чтобы избежать явных искажений Арктики и Антарктики. Чем ближе к полюсам, тем параллели на карте располагаются все дальше и дальше друг от друга, хотя фактически их разделяет одинаковое расстояние. Поэтому объекты в высоких широтах выглядят на изображении больше, чем в реальности. В меркаторовской проекции Гренландия получается величиной с Африку, хотя на самом деле Африка в четырнадцать раз больше.

Нет ли проекции получше? Возможно, вам захочется, чтобы большие круги отображались отрезками прямых (гномоническая проекция), чтобы относительная площадь объектов соответствовала реальной жизни (равноплощадная проекция) и чтобы проекция сохраняла углы (равноугольная (конформная) проекция, к которым относится и меркаторовская). Однако вы не можете сразу получить все эти свойства. Причина – теорема Карла Фридриха Гаусса о пицце. Правда, Гаусс не называл ее так, хотя определенно мог бы назвать, если бы у него в Геттингене XIX века были такие ломтики. Но он назвал ее Theorema Egregium, что на латыни означает «Замечательная теорема». Я не буду утомлять вас точной формулировкой, а просто нарисую изображение.

Гладкая искривленная поверхность, если ее достаточно увеличить, будет выглядеть как одна из этих четырех картинок. Слева мы видим часть сферы, в середине – плоскость и часть цилиндра, справа – нечто типа чипса[507]. Гаусс разработал числовое понятие кривизны; у плоскости и цилиндра кривизна равна 0, у сферической поверхности она положительна, а у чипса – отрицательна. Более сложные поверхности вроде следующей могут иметь положительную кривизну в одних точках и отрицательную – в других.

Оказывается, если вы можете сопоставить одну поверхность с другой так, чтобы сохранялись углы и площади, то сохранится и метрика, – иными словами, геометрия двух поверхностей будет одинакова. Расстояние между двумя точками на одной поверхности будет таким же, как и между соответствующими точками другой поверхности.