Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ДУША ФАКТА

Рита Дав – поэтесса, получившая Пулицеровскую премию, бывший поэт – лауреат США, профессор английского языка в Вирджинском университете, где в свое время математическими размышлениями занимались Томас Джефферсон и Джеймс Джозеф Сильвестр; однако в начале 1960-х она была закомплексованным ребенком в Акроне (штат Огайо). Ее отец, промышленный химик, был первым чернокожим химиком-исследователем в компании Goodyear Tire[683]. Дав вспоминает:

Мы с братом собирались вместе, чтобы решить домашнее задание по математике[684]. Мы часами пытались решать сложную задачу самостоятельно, прежде чем сдаться и обратиться к отцу, потому что он был настоящим знатоком математики, и, если у нас возникал вопрос по алгебре, он говорил: «Ну, это было бы проще, если бы вы использовали логарифмы». Мы протестовали: «Но мы же ничего не знаем о логарифмах!» Но он все равно доставал логарифмическую линейку, и через пару часов мы знали логарифмы, но вечер был потерян.

Это воспоминание превратилось в стихотворение Flash Cards («Карточки для обучения»)[685].

Карточки для обучения

Я была математиком-вундеркиндом, хранителемапельсинов и яблок. Что тут непонятного,говорил мне отец; чем быстреея отвечала, тем быстрее они появлялись.
Я могла наблюдать за бутоном на герани учителя,за пчелой, жужжащей на мокром окне.Тюльпанное дерево[686] всегда тянулось после сильного дождя,и я втягивала голову, когда мои ботинки шлепали по дому.
Отец закидывал ноги после работыи расслаблялся с бокалом виски и «Жизнью Линкольна».После ужина шло натаскивание, и я поднималась в темноту
перед сном, перед тем как тонкий голос пищалчисла, когда я крутилась на колесе. Я должна была угадывать.«Десять, – повторяла я, – мне всего лишь десять».

Это стихотворение отображает факты арифметики как авторитет, навязанный сверху. (Вдвойне: там есть и строгий отец, и любящий математику Авраам Линкольн, появляющийся в названии книги.) В стихотворении есть и привязанность. Дав говорит: «Вы также осознаете, что вас любят[687], потому что тратят на вас свое время. Мой отец был тогда очень суров, эти карточки появлялись перед сном. Тогда я их ненавидела, но сейчас я довольна». Однако в конце вы перебираете ногами на колесе в темноте, выдавая ответы как можно быстрее и правильнее. Такова математика в понимании множества школьников.

Большинство выдающихся поэтов не написали ни одного математического стихотворения, а у Дав их целых два. Вот еще одно.

Геометрия

Я доказываю теорему, и дом расширяется[688]:окна плавно взмывают и парят у потолка,потолок со вздохом уплывает вдаль,
поскольку стены очищаются от всего,кроме прозрачности, унося с собой запах гвоздики.Я под открытым небом,
и над окнами, превратившимися в бабочек,солнечный свет вспыхивает там, где они пересеклись.Они устремляются к какой-то точке недоказанной истины.

Какая огромная разница! Там, где арифметика – утомительная работа, геометрия – своеобразное освобождение. Озарение настолько мощное, что раздвигает стены (или делает их невидимыми; это поэзия, и я не думаю, что мы должны углубляться в точную физику подобного сценария). Пересечения плоскостей в пространстве становятся живыми существами, которые могут красиво упорхнуть, даже если вы не можете прикрепить их к двумерной странице. То, что происходит в разуме, когда открывается вот такое доказательство, – это что угодно, но только не утомительная логическая работа.

В геометрии есть нечто особенное – то, ради чего стоит писать стихи. В других местах школьной программы вы в конце концов обязаны полагаться на авторитет учителя или учебника, когда дело касается того, кто воевал во французских или индейских войнах или какова основная продукция Португалии. В геометрии у вас есть собственное знание. Сила в ваших руках.

Именно поэтому флатландцы и итальянские иезуиты справедливо считали геометрию опасной. Она – альтернативный источник авторитета и власти. Теорема Пифагора верна не потому, что Пифагор так сказал, а потому, что мы сами можем доказать, что она верна. Смотри!

Однако истина и доказательство – не одно и то же. Именно на этом и заканчивается стихотворение Дав: «…точке недоказанной истины». Пуанкаре оказывается там же, когда настаивает на необходимой роли интуиции. Он пишет:

Только что сказанного мною достаточно[689], чтобы показать, насколько тщетно было бы пытаться заменить свободную инициативу математика каким-либо механическим процессом. Для получения реально ценного результата недостаточно громоздить вычисления или иметь машину для упорядочивания; ценность заключена не в порядке вообще, а в неожиданном порядке. Машина может хвататься за голый факт, однако душа этого факта всегда будет ускользать от нее.

Мы используем формальное доказательство в качестве опоры, чтобы расширить возможности нашей интуиции, однако это было бы лестницей в никуда, если бы мы не использовали его, чтобы добраться до места, которое мы каким-то необъяснимым образом могли увидеть.

Мы, математики, представляемся миру людьми, чьи знания вечны и неоспоримы, поскольку мы все это доказали. Доказательство – важный инструмент для нас, мерило нашей уверенности, так же как это было для Линкольна. Однако суть не в этом. Суть в понимании вещей. Нам нужны не просто факты, а души фактов. Именно в момент понимания, когда стены стали прозрачными, а потолок улетает, мы и творим геометрию.

Несколько лет назад российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. Это была не единственная гипотеза Пуанкаре, но именно она связывается с его именем, поскольку оказалась трудной, а попытки справиться с ней, как правило, приводили к появлению новых интересных идей; вот так действительно хорошая гипотеза оправдывает себя.

Я не собираюсь точно формулировать гипотезу Пуанкаре. Она касается трехмерных пространств, но не обязательно нашего; скорее Пуанкаре спрашивает о несколько более геометрически богатых трехмерных пространствах – пространствах, которые можно искривлять и сгибать[690]. Представьте, что Квадрат, вынутый из Флатландии его трехмерным гостем, обнаружил бы, что плоскость, на которой он жил, – на самом деле поверхность сферы[691] или вообще какого-нибудь сложного пончика, а затем сказал бы своему новому другу: а что, если ваш трехмерный мир на самом деле имеет какую-то сложную форму, видимую только из четвертого измерения? Как вы могли бы об этом судить?

Вот один из способов узнать, живете вы на пончике или на сфере. На поверхности пончика можно сделать замкнутую петлю из эластичной веревки так, чтобы ее нельзя было стянуть в точку, сколько бы вы ни пытались. Сфера – другое дело: любая веревочная петля на поверхности стягивается в точку.

Трудновато представить себе это в нашем трехмерном пространстве, но почему бы не попробовать? Веревочную петлю, которую вы держите в руке, наверняка можно стянуть в точку, не покидая Вселенной.

Но как насчет космического корабля, который удаляется от Земли на много гигапарсеков, а потом возвращается домой? Если представите его путь в космосе как длинную-длинную петлю, очевидно ли, что можно стянуть ее в точку? Геометрия Вселенной в таких масштабах так же недоступна нашим прямым наблюдениям, как и мелкомасштабные странности внутри электрона.

Пуанкаре понял, что понятие о таких стягиваемых и нестягиваемых петлях играет фундаментальную роль. Его гипотеза заключалась в том, что есть только один вид трехмерного пространства без нестягиваемых петель – то, с которым мы знакомы. Убедитесь, что все петли можно стянуть, и вы знаете все, что нужно знать о форме пространства.

Честно говоря, Пуанкаре не строил в точности таких предположений. Он просто спросил в статье 1904 года (года выставки), так ли это, не останавливаясь ни на одном из двух вариантов. Возможно, от конкретики его удержал консервативный характер, а может быть, тот факт, что четырьмя годами ранее он высказал другую подобную гипотезу, которая, как он сам признал в работе 1904 года, оказалась полностью неверна. Такое встречается чаще, чем вы думаете. Даже великие математики высказывают множество ложных предположений. Если вы никогда их не делаете, значит, не высказываетесь о достаточно сложных вещах.

Перельман ответил на вопрос Пуанкаре, используя такие методы, которые французский математик едва ли мог вообразить. Его доказательство поднимается на уровень выше, используя геометрию всех геометрий, позволяя загадочному трехмерному пространству без петель течь через пространство всех пространств, пока оно не станет стандартным трехмерным пространством, которое мы знаем и любим.

Это не простое доказательство.

Однако новые идеи из работы Перельмана обусловили огромную волну работ с этими абстрактными потоками и расширили понимание математиков о том, какой может быть геометрия. Сам Перельман в этом не участвовал[692]. Бросив свою бомбу, он уединился в своей маленькой квартирке в Санкт-Петербурге, отказавшись и от медали Филдса, и от премии в миллион долларов, учрежденной Институтом Клэя за решение этой проблемы.

Позвольте предложить мысленный эксперимент. Что, если бы гипотезу Пуанкаре доказал не российский геометр-интроверт, а машина? Скажем, внук внука «Чинука», который, вместо того чтобы разбираться с шашками, взялся бы за эту задачу трехмерной геометрии.

Предположим также, что доказательство (подобно идеальной стратегии «Чинука» для шашек) было бы чем-то совершенно непонятным для человеческого разума, цепочкой чисел или формальных символов, правильность которой мы можем проверить, но не можем понять ни в каком значимом смысле.

Тогда, несмотря на тот факт, что одна из самых известных проблем геометрии была бы решена, а истинность гипотезы раз и навсегда установлена, мне было бы все равно. Абсолютно! Поскольку суть не в том, чтобы знать, что истинно, а что ложно. Истина и ложь не так уж интересны. Это факты без души. Уильям Тёрстон, выдающийся современный специалист по неевклидовым трехмерным геометриям и разработчик грандиозной стратегии классификации всех таких геометрий, которую успешно завершила работа Перельмана, не имел времени для промышленного взгляда на математику как фабрику истин: «Мы не пытаемся выполнить какую-то абстрактную норму по производству определений, теорем и доказательств[693]. Мера нашего успеха – позволяет ли людям то, что мы делаем, лучше понимать математику и думать о математике более ясно и эффективно». Математик Дэвид Блэквелл выразился более прямолинейно: «Вообще-то мне неинтересно заниматься исследованиями, и никогда не было интересно. Мне интересно понимать, а это совершенно другое дело»[694].

Геометрия – это люди. Она универсальна и вечна, проявляясь в тех же формах в любом когда-либо существовавшем человеческом сообществе, но она также находится прямо здесь, располагаясь во времени и пространстве среди людей. Она здесь, чтобы научить нас чему-то, заставив дом расширяться.