Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

КИТАЙСКАЯ ГИПОТЕЗА

Теорема о браслетах позволяет проверить, является ли простым некое число, подобно тому как вышибала проверяет гостей у дверей фешенебельного клуба. Если у входа в шикарном костюме появляется число 1 020 304 050 607 и пытается пройти, то мне понадобится некоторое время, чтобы удостовериться в его праве (я буду пробовать делить его на 2, 3, 5, 7 и так далее). Однако гораздо легче возвести число 2 в степень 1 020 304 050 607, вычесть 2 и проверить, разделится ли результат на 1 020 304 050 607[266]. Если нет, то это означает, что число 1 020 304 050 607 – точно не простое, и я могу выпроводить его своей мускулистой рукой.

Однако здесь есть странность: мы, несомненно, доказали, что число 1 020 304 050 607 разбивается на меньшие множители, но это доказательство не дает никаких подсказок, какие именно это множители! (Это хорошо; вспомните, что вся система криптографии с открытым ключом основана на сложности поиска таких множителей.) К подобным «неконструктивным доказательствам» требуется привыкнуть, но в математике они встречаются повсеместно. Такое доказательство в чем-то сродни автомобилю, внутри которого каждый раз сыро во время дождя[267]. По наличию воды и запаху вы понимаете, что где-то протекает. Но доказательством, как ни досадно, будет сам факт существования протечки, а не то, где именно она находится.

Нам нужно вникнуть еще в одну важную особенность этого доказательства. Если ваши коврики влажные во время дождя, то протечка есть; но это не значит, что если они сухие, то протечки нет! Протечка может быть в другом месте, или ваши коврики могут очень быстро сохнуть. Можно сделать два различных утверждения.

Если ваши коврики влажные, протечка есть.

Если ваши коврики сухие, протечки нет.

В терминах логики второе утверждение называется противоположным первому. Существуют и другие варианты.

Обратное утверждение. Если в автомобиле есть протечка, то коврики на полу будут влажными.

Контрапозитивное утверждение. Если в автомобиле нет протечки, то коврики будут сухими[268].

Исходное утверждение эквивалентно своему контрапозитиву; это просто два разных набора слов, выражающих одну и ту же идею, словно 1/2 и 3/6 или «величайший шорт-стоп в моей жизни» и «Кел Рипкен – младший»[269]. Вы не обязаны соглашаться ни с тем, ни с другим, но если соглашаетесь с одним, то вынуждены согласиться и с другим. Однако утверждение и обратное утверждение – две совершенно разные вещи. Может оказаться, что оба истинны, оба ложны или одно истинное, а другое ложное.

Ферма показал, что если n – простое число, то 2n делится на n. Обратное утверждение звучит так: если 2n делится на n, то n – простое число. Это утверждение, которое позволило бы делать проверку методом Ферма, иногда называют китайской гипотезой[270]. Оно истинно? Нет. Оно китайское? Тоже нет. Название происходит от стойкого и ошибочного убеждения[271], что малая теорема Ферма была известна китайским математикам еще во времена Конфуция. Как и в случае игры «Ним», западные математики сочли странно привлекательной идею, что любую математическую концепцию неясного происхождения следует считать старой и китайской. Мнение, что древние китайские математики сформулировали утверждение, обратное малой теореме Ферма, по-видимому, восходит к короткой заметке 1898 года[272], написанной британским астрофизиком Джеймсом Джинсом[273] в пору студенчества, что только добавляет издевательства к неправильной атрибуции[274].

Утверждение, обратное малой теореме Ферма, неверно, потому что, подобно тому как юноша с фальшивым удостоверением личности может обмануть самого сурового вышибалу, некоторые составные числа проходят такой тест. Наименьшее из этих чисел – 341. (Хотя этот пример, кажется, был открыт только в 1819 году!) Другой пример – то самое подлое число 4 294 967 297, одурачившее Ферма. И таких чисел бесконечно много.

Однако их наличие не делает тест бесполезным, он просто несовершенен. Внешний мир часто думает, что математика – это наука о безупречном и определенном, однако несовершенные вещи нам тоже нравятся, особенно если мы знаем границы их несовершенства. Вот как можно сгенерировать большие простые числа методом проб и ошибок. Напишите трехсотзначное число. Примените к нему тест Ферма (или лучше его современный вариант: тест Миллера – Рабина). Если число не прошло тест, выберите другое и повторите попытку. Продолжайте, пока не наткнетесь на то, которое пройдет тест.