Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

И ТАК ДАЛЕЕ…

Я сказал, что мы доказали теорему. Нужно ли нам записать доказательство? Давайте запишем.

Теорема флагов: если количество флагов равно 4, 8, 12 или любому числу, кратному 4, то первый игрок проигрывает; в противном случае первый игрок выигрывает, выбирая такое количество флагов, чтобы противнику оставалось число, кратное 4.

А теперь доказательство. Может быть, вы уже сочли мои рассуждения убедительными. Надеюсь, что так! Однако в них есть слабое место – словосочетание «и так далее…». Это многоточие указывает на нечто недосказанное, а в доказательстве такого быть не должно.

Что происходит, когда мы пытаемся озвучить невысказанное? Мы упомянули 4, 8, 12 и 16 флагов, но не 20, поэтому могли бы добавить в обсуждение и их. Но тогда нам нужно было бы рассмотреть случай с 24 флагами, а это неизбежно приведет к варианту с 28 флагами. И так далее. Вот в чем настоящая проблема! Бесконечно длинное доказательство бесполезно! Кто будет его читать? И все же такая ситуация отдает некоторым пренебрежением – человек машет руками и говорит: «Я мог бы продолжать и дальше, но не буду».

Попробуем действовать иначе. Например, разобьем теорему флагов на две части.

ТФ1. Если количество флагов равно 4, 8, 12 или любому кратному числа 4, то первый игрок проигрывает.

ТФ2. Если количество флагов не равно числу, кратному 4, то первый игрок выигрывает.

Почему мы считаем, что утверждение ТФ1 истинно? Потому что, сколько бы флагов мы ни взяли, у противника остается количество флагов, не кратное 4. Поэтому, согласно ТФ2, такая ситуация отмечается буквой В, а значит, по второму правилу, моя текущая позиция – П. Таким образом, утверждение ТФ1 истинно, если утверждение ТФ2 истинно. На языке логики мы бы сказали: из ТФ2 следует ТФ1.

Похоже, наметился прогресс! Нам нужно было доказать две вещи, а теперь только одну. Так почему ТФ2 истинно? Предположим, что количество флагов не кратно 4. Тогда вы можете его уменьшить до кратного 4, взяв 1, 2 или 3 флага[204]. Теперь, согласно ТФ1, вы поставите оппонента в положение П. Но если вы можете перевести текущую позицию в П, то, исходя из первого правила, сама текущая позиция – В.

Итак, подытожим: ТФ1 истинно, поскольку ТФ2 истинно, а ТФ2 истинно, потому что истинно ТФ1.

Ой-ой-ой!

Уж очень напоминает порочный круг – то самое печальное рассуждение, когда вы воспринимаете утверждение как его собственное обоснование. Большинство из нас слишком умны, чтобы уговорить себя применить это непосредственно, поэтому мы строим небольшой цикл утверждений, где каждое последующее вытекает из предыдущего.

«Я не верю ничему, прочитанному в газете “Сердитый знаток”, ей верить нельзя. Откуда я знаю, что ей нельзя верить? Потому что там вечно публикуют лживые истории. Откуда я знаю, что они лживые? Потому что я читаю их в газетенке “Сердитый знаток”, а ей не стоит верить».

Получилась своего рода математическая ловушка.

К счастью, выход есть. Подумайте снова о нашем исходном аргументе, который (если не считать досадного многоточия) был весьма убедителен, и это вполне справедливо. Ведь он опирался на нисходящую схему: вы доказали факт о шестнадцати флагах, используя факт о двенадцати, который, в свою очередь, доказали с помощью факта о восьми, а его, в свою очередь, с помощью факта о четырех флагах. Такой процесс не может длиться вечно и должен прекратиться, потому что целые положительные числа не могут бесконечно уменьшаться. Это тоже геометрия! На непрерывном пути мы можем просто приближаться к конечной точке, делая бесконечное число все более крошечных шажков. Однако геометрия целых чисел дискретна, а не непрерывна; они похожи на последовательность камней, по которым вы прыгаете. На вашем пути не так много камней, и в конце концов он заканчивается. Звучит несколько знакомо, верно? Да потому что мы уже говорили об этом несколько страниц назад, когда обсуждали, что факторизация чисел в итоге приводит к куче простых множителей, которые уже разложить нельзя. Используемый здесь метод называется математической индукцией и в каком-то смысле восходит к тому факту о разложении на простые множители, который аль-Фариси предложил семьсот лет назад.

Нужное рассуждение будет доказательством от противного, которое сейчас для большинства математиков стало почти рефлекторной привычкой. Что бы вы ни хотели доказать, вы предполагаете обратное. Звучит странно и неправильно, зато это чрезвычайно полезно. Например, вы делаете предположение, что ошибаетесь насчет мироустройства, и начинаете обдумывать его, всячески переворачивая и строя цепочки следствий, пока (надеюсь!) не придете к заключению, что оно не может быть правильным. Это все равно что держать твердый леденец во рту, который постепенно растворяется и растворяется, пока не дойдет до кислого противоречия в центре.

Итак, допустим, что мы заблуждаемся в справедливости теоремы флагов. Тогда должен быть контрпример: какое-то плохое количество флагов, для которого теорема говорит, что мы проигрываем, хотя на самом деле выигрываем, или что мы выигрываем, хотя на самом деле проигрываем. Возможно, таких плохих чисел будет несколько. Однако вне зависимости от их количества среди них есть наименьшее.

В этот момент на сцену выходит алгебра. Иногда люди впадают в панику при появлении x или y. Полезно думать о таких символах как о местоимении. Бывает, что вы хотите обратиться к человеку, но не знаете его имени. Может быть, вы даже не знаете, кто именно этот человек. Скажем, говоря о следующем президенте Соединенных Штатов, вы используете местоимения он или она не потому, что у этого человека нет имени, а потому, что вы пока его не знаете. Поэтому давайте назовем самое маленькое плохое число N. Напоминаем, что слово «плохое» означает следующее: либо N кратно 4, но при этом позиция выигрышная, либо N не кратно 4, но при этом позиция проигрышная.

Допустим, N кратно 4, тогда, что бы я ни делал (брал 1, 2 или 3 флага), результат не будет кратным 4. Более того, он будет меньше N, а потому не может быть плохим. Это важный момент в доказательстве, так что остановитесь и полюбуйтесь. N не просто плохое число, это наименьшее плохое число. Все числа меньше N не являются плохими, а потому ведут себя в соответствии с теоремой флагов. А она утверждает, что если число флагов не кратно 4, то позиция выигрышная. Чувствуете привкус противоречия? Предполагалось, что позиция с N флагами выигрышная, однако оказалось, что любой ваш ход оставляет выигрышную позицию противнику. Этого не может быть. Противоречие.

Рассмотрим второй случай. N не кратно 4, но при этом позиция проигрышная. Однако, независимо от N, я могу взять 1, 2 или 3 флага и оставить второму игроку число флагов, кратное 4. Это новое число меньше N, а потому не может быть плохим и подчиняется теореме флагов, а значит, позиция должна быть проигрышной. Но если я могу оставить оппоненту проигрышную позицию, то моя исходная позиция с N флагами – выигрышная. Однако, согласно нашему предположению, она проигрышная. Снова противоречие. Поэтому мы вынуждены признать, что наше исходное допущение о существовании неких плохих чисел, для которых теорема флагов неверна, ошибочно. Следовательно, плохих чисел нет и теорема верна для всех чисел. Итак, теорема флагов доказана.

Вы можете отреагировать на это доказательство двумя способами. Первый – восхититься системным парадом мыслей, который аккуратно провел нас по извилистому пути к неизбежному заключению. Второй (который, честно говоря, настолько же обоснован) – сказать: «Да зачем мы потратили на это две страницы? Я и так был в этом убежден! Я понимал, что вы подразумеваете под “и так далее…”, и не думал, что нужны еще какие-то объяснения. Неужели вы, математики, реально проводите целый день, соединяя продуманные аргументы, чтобы доказать то, что нормальный человек посчитал бы уже установленным вне всяких сомнений?»

Ну… иногда – да. Но не всегда. Как только вы увидите несколько подобных доказательств, вам больше не нужно их записывать. Вы видите «и так далее…» и считаете это доказательством не потому, что так оно и есть, а потому, что у вас достаточно опыта, чтобы понимать, что вместо многоточия можно написать строгое доказательство.

Игра «Ним» – это разновидность математики, или, если угодно, такая математика – это разновидность игры. Игру любят и охотно в нее играют по всему миру. Возникает вопрос: почему мы не обучаем ей в школе? Возможно, навыки игры в «Ним» не будут непосредственно связаны с вашей профессией (если вы не участник реалити-шоу), но если мы допускаем, что обучение математическому мышлению помогает нам лучше понимать все остальное[205], то такой анализ будет способствовать образованию. Нас постоянно ругают за то, что школьная система образования подавляет у учеников природное чувство игры. Если бы мы больше играли на уроках математики, стали бы школьники активнее ее изучать?

И да, и нет. Я преподаю математику больше двадцати лет. Когда я начинал, меня интересовали такие вопросы: как правильно учить математическим понятиям? Сначала примеры, а потом объяснение? Или сначала объяснение, а затем примеры? Дать возможность учащимся открыть принципы на основе приведенных мной примеров или написать на доске принципы и позволить ученикам самим подобрать примеры?

Я пришел к выводу, что единого правильного способа не существует. (Зато, вне сомнения, есть несколько неправильных.) Ученики разные, и нет универсального метода преподавания, который подошел бы всем. Должен признаться, что я не люблю игры. Я ненавижу проигрывать, поэтому они меня нервируют. Однажды я поссорился с мамой моего приятеля, когда она в карточной игре «Червы» добилась «выстрела по луне»[206]. Если бы план урока основывался на игре «Ним», он бы, вероятно, оттолкнул меня. Зато мог бы очаровать моего соседа по парте! Я думаю, что учителя математики должны применять все возможные методики преподавания и быстро их менять. Так вы повысите вероятность того, что каждый учащийся почувствует хотя бы иногда, что преподаватель после столь скучных неинтересных подробностей говорит о предмете в разумной манере.