Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

НЕ СЛИШКОМ ОБНАДЕЖИВАЕТ

Идеи Росса о росте эпидемии определялись базовым принципом – единственным, который лежит в основе всего математического прогнозирования: что произошло сегодня, произойдет и завтра. Все мрачные детали заключаются в выяснении того, что это означает на практике.

Вот самое простое, что это может означать. Предположим, носители заразного вируса в течение периода своей заразности (скажем, 10 дней) инфицируют в среднем двух человек. Если мы начали с 1000 зараженных, то через 10 дней будет примерно 2000 инфицированных. Исходная тысяча теперь не заразна, однако новые 2000 через 10 дней заразят примерно 4000, еще через декаду вирус подхватят около 8000 человек и так далее. В результате за первый месяц число заражений составит:

день 0: 1000;

день 10: 2000;

день 20: 4000;

день 30: 8000.

Такая последовательность называется геометрической прогрессией, хотя связь с геометрией тут несколько туманна. Название дано по той причине, что каждый член последовательности является средним геометрическим между предыдущим и последующим. Но что означает «среднее» и почему оно геометрическое?

Среднее значение, к которому вы, вероятно, привыкли, отображается точкой, делящей отрезок числовой прямой ровно пополам. Среднее 1 и 9 – это число 5, так как 5 отстоит на 4 и от 1, и от 9. Такое среднее называется средним арифметическим (думаю, из-за того, что возникает в результате операций сложения и вычитания), а последовательность чисел, в которой каждый член является средним арифметическим между предыдущим и последующим, называется арифметической прогрессией.

Среднее геометрическое – это другой вид среднего. Чтобы узнать среднее геометрическое для 1 и 9, возьмите прямоугольник со сторонами длиной 1 и 9.

Среднее геометрическое – это длина стороны квадрата, площадь которого равна площади этого прямоугольника. (Греки очень любили думать о площадях в терминах квадратов; это была одна из причин, почему они пытались безуспешно квадрировать круг.) Среднее геометрическое было любимым у Платона; по некоторым сведениям, он считал[366] его самым истинным средним. Площадь нашего прямоугольника 1 × 9 = 9; если у квадрата та же площадь, то длина его стороны – число, которое дает 9 при умножении на себя. Это длинный способ сказать 3. Таким образом, 3 – это среднее геометрическое для чисел 1 и 9, и

1, 3, 9

образуют геометрическую прогрессию.

Сегодня мы обычно определяем среднее геометрическое другим, хотя и эквивалентным способом: среднее геометрическое двух чисел x и z – это такое число y, что выполняется соотношение:

y / x = z / y[367].

Сравните эту четкую формулу со словесными узлами, которые пришлось закручивать Платону при объяснении геометрического среднего:

Прекраснейшая же из связей такая[368], которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел – как кубических, так и квадратных – при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места, выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство[369].

Оцените достоинства алгебраических обозначений!

Вирусы распространяются в геометрической прогрессии не потому, что им нравится вычислять площади прямоугольников или они читали Платона, а потому, что механизм распространения вируса требует, чтобы отношение между заражением за прошлую и нынешнюю декады было таким же, как между заражением за нынешнюю и следующую декады. То, что происходит сегодня, произойдет и завтра, и в нашем примере количество новых случаев каждые десять дней умножается на 2. Когда последовательность чисел возрастает в геометрической прогрессии, мы говорим, что она растет экспоненциально. Люди часто используют словосочетание экспоненциальный рост как синоним очень быстрого роста, однако первое выражение гораздо конкретнее. Каждый учитель математики хотел бы иметь пример, который действительно продемонстрирует ученикам, что такое экспоненциальное поведение. К сожалению, в данный момент такой пример у нас под рукой.

Наша стандартная интуиция плохо приспособлена к осознанию экспоненциального роста. Мы привыкли к физическим объектам, движущимся примерно с постоянной скоростью. Если вы едете со скоростью 60 километров в час, то пройденное с каждым часом расстояние выглядит так:

60 километров, 120 километров, 180 километров, 240 километров…

Это арифметическая прогрессия – разность между каждым ее членом и следующим числом никогда не меняется, и числа растут с постоянной скоростью.

Геометрическая прогрессия – совсем другое дело; наш мозг интерпретирует ее как медленный, устойчивый, управляемый рост, а потом вдруг резкая и устрашающая крутизна. Однако в геометрическом смысле скорость увеличения никогда не меняется. Очередная декада похожа на предыдущую, просто вдвое хуже. Катастрофа полностью предсказуема, но мы почему-то не способны целиком ее воспринять. Обратите внимание на слова Джона Эшбери – вероятно, единственного крупного американского поэта, затронувшего этот вопрос в стихотворении 1966 года «Словами делу»:

Подобно дружелюбному началу геометрической прогрессии,Не слишком обнадеживали…

В Италии, одной из наиболее сильно пострадавших стран в первые дни вспышки COVID-19, потребовался месяц, чтобы болезнь убила первую тысячу человек. Следующая тысяча умерла за четыре дня. А 9 марта 2020 года, когда болезнь уже стала распространяться по всему миру, один представитель американского правительства[370] агрессивно преуменьшил угрозу, сравнив ситуацию с ежегодной эпидемией гриппа, от которой страдают тысячи американцев: «На данный момент подтверждено 546 случаев коронавируса с 22 летальными исходами. Подумайте об этом!» Через неделю по 22 американца умирали от COVID-19 уже ежедневно. Еще через неделю – почти в десять раз больше.

Дело в том, что геометрические прогрессии бывают хорошими и плохими. Предположим, носители болезни передают возбудителя в среднем не двум людям, а всего 0,8. Тогда геометрическая прогрессия инфекций выглядит так:

день 0: 1000;

день 10: 800;

день 20: 640;

день 30: 512;

а в следующие четыре дня улучшение еще заметнее:

день 40: 410;

день 50: 328;

день 60: 262;

день 70: 210.

Это экспоненциальное убывание – математическое подтверждение победы над эпидемией.

Указанное число – отношение членов геометрической прогрессии (еще его называют знаменателем прогрессии) – имеет очень большое значение. Если знаменатель больше 1, то вирус быстро распространяется и добирается до значительной доли населения, если меньше, то эпидемия сходит на нет и затухает. В эпидемиологических кругах его обозначают R0. По оценкам, во время весенней волны эпидемии испанки в 1918 году[371] R0 равнялся 1,5. Во время эпидемии переносимого комарами вируса Зика в 2015–2016 годах R0 составлял примерно 2. Для эпидемии кори в Гане в 1960-х годах он был 14,5!

Эпидемия с маленьким R0 выглядит так:

Большинство людей обычно заражают всего одного человека (или вообще никого), и в результате цепочка инфекций, как правило, заканчивается, не успевая сильно распространиться. Когда R0 чуть больше 1, вы видите примерно такую картину:

Когда же R0 существенно больше 1, вы наблюдаете быстрый экспоненциальный рост: процесс постоянно ветвится[372] и вирус распространяется все дальше и дальше по популяции.

Если после заболевания у человека вырабатывается иммунитет, то эти ветви к нему не вернутся и не образуют цикл, поэтому такая эпидемическая сеть будет отражать уже знакомую нам геометрическую структуру – дерево.

Существование этого принципиального порога при R0 = 1 было центральной идеей Росса при изучении малярии. Открытие, что малярию переносят комары, стало не только огромным достижением, но и породило определенный пессимизм. Убить комара легко, убить всех комаров трудно. Поэтому можно решить, что остановить распространение малярии невозможно. Однако Росс настаивал, что это не так. Пока существуют комары-анофелесы, некоторые из них будут кусать зараженного малярией человека, а затем, немного полетав, укусят тех, у кого малярии еще нет. Поэтому болезнь продолжит распространяться. Но если плотность комаров настолько мала, что волшебное число R0 будет меньше 1, то каждую неделю будет все меньше и меньше случаев заболевания, и эпидемия экспоненциально пойдет на убыль. Вам не нужно полностью останавливать передачу, достаточно остановить ее в соответствующей степени.

Именно эту идею продвигал Росс в 1904 году на выставке в Сент-Луисе. С помощью рассуждений о случайном блуждании он хотел показать, что, после того как количество комаров в какой-то местности уменьшится, потребуется довольно много времени, чтобы туда залетело достаточное количество анофелесов, чтобы ситуация снова преодолела эпидемический порог.

Это также ключевая идея в борьбе с COVID-19. Хорошо, что нам не обязательно полностью устранять вероятность передачи болезни; это и невозможно. Контроль над эпидемией – это не перфекционизм.