Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ЛАГХУ ЛАГХУ ЛАГХУ ЛАГХУ

Разностные уравнения подходят не только для моделирования заболеваний. Они лежат в основе целого множества последовательностей, интересных с точки зрения математики. Любите арифметические прогрессии? Можете получить одну из них, предположив, что разность – это фиксированное число:

А(завтра) – А(сегодня) = 5,

и получите (если начнете с 1) последовательность 1, 6, 11, 16, 21…

Если хотите получить геометрическую прогрессию, нужно взять разность, которая пропорциональна текущему значению, скажем:

А(завтра) – А(сегодня) = 2 × А(сегодня),

что дает последовательность 1, 3, 9, 27, 81 и т. д., в которой каждый член втрое больше предыдущего. Вы можете взять любое разностное уравнение, какое захотите! Например, возможно, по каким-то причинам вам захотелось, чтобы разность была квадратом текущего значения:

А(завтра) – А(сегодня) = А(сегодня)2,

что приводит к весьма быстро растущей последовательности 1, 2, 6, 42, 1806… Такого рода прогрессии не были известны Платону, их гораздо больше знает «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей» (OEIS), которая одновременно является важным исследовательским инструментом и невероятно успешным средством прокрастинации для всех известных мне математиков. Этот проект запустил математик Нил Слоун[402] в 1965 году: сначала на перфокартах, затем в виде бумажной книги, а потом и онлайн. Вы можете задать машине список целых чисел, а она выдаст вам все, что математический мир знает о нем. Например, вышеприведенная последовательность – это последовательность A007018 в OEIS, и я узнал, что ее n-й член – это «число упорядоченных деревьев, имеющих узлы с полустепенью исхода 0, 1, 2, и таких, что все листья находятся на уровне n». (Снова деревья!)

Если вы хотите несколько усовершенствовать модель (а при моделировании болезней с претензией на реализм, вероятно, так и есть), можно сделать так, чтобы разность между сегодняшней и завтрашней ситуацией зависела не только от произошедшего сегодня, но и от того, что происходило вчера. Попробуем так:

A(завтра) – A(сегодня) = A(вчера).

Чтобы начать вычисления, нам нужны данные за два первых дня. Если и сегодняшнее, и вчерашнее значение равно 1, то завтра будет 1 + 1 = 2. Еще через день A(сегодня) = 2, A(вчера) = 1, поэтому A(завтра) = 3. Эта последовательность продолжается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

где каждый член – сумма двух предыдущих. Это последовательность Фибоначчи, или A000045 в OEIS, и она настолько знаменита, что ей посвящен целый математический журнал.

Вам может быть неясно, откуда в реальном мире возьмется процесс, порождающий такое разностное уравнение. Сам Леонардо Фибоначчи в своей «Книге абака» в 1202 году предложил эту последовательность на основании совершенно неубедительной биологической модели размножающихся кроликов. Но есть и более древний и хороший способ! Я узнал о нем от Манджула Бхаргавы – не только выдающегося специалиста по теории чисел, но и серьезного исследователя классической индийской музыки и литературы. Он играет на табле[403] и знает поэзию на санскрите. Как и в английском языке, метрическая структура стихов на санскрите определяется различными типами слогов. В англоязычной поэзии мы, как правило, следим за закономерностями в чередовании ударных и безударных слогов, которые называются стихотворными размерами; среди них есть ямб, когда за безударным слогом идет ударный (To BE or NOT to BE), или дактиль, где за ударным слогом следуют два безударных (THIS is the FORest priMEval). В санскритской поэзии[404] ключевое различие проводится между лагху (легким) и гуру (долгим) слогом, при этом гуру вдвое длиннее. Метр (матра-вррта[405]) – это последовательность лагху и гуру, образующих некоторую фиксированную длину. Например, если эта длина равна 2, то есть только два варианта: либо два лагху, либо один гуру.

В английском языке существует четыре способа сложить два слога: безударный – ударный (ямб), ударный – безударный (хорей), ударный – ударный (спондей[406]) или безударный – безударный, который, как я только что выяснил, называется пиррихий[407].

Если у вас три слога, то каждый из этих четырех вариантов порождает еще два: например, после хореической стопы может следовать безударный слог, что дает дактиль, а может ударный, что дает редко используемый размер под названием амфимакр. (Вероятно, самым известным примером его применения в современном американском стихосложении является слоган пива Bud Dry: Why ask why? Try Bud Dry[408].) Итак, существует восемь вариантов для трехсложного размера стиха, шестнадцать для четырехсложного, тридцать два для пятисложного и так далее.

В санскрите все гораздо запутаннее. Если три различных метра длины 3:

лагху лагху лагху;

лагху гуру;

гуру лагху;

и пять метров длины 4:

лагху лагху лагху лагху;

лагху гуру лагху;

гуру лагху лагху;

лагху лагху гуру;

гуру гуру.

Та же самая задача в музыкальных терминах: сколькими способами можно объединить половины и четверти ноты, чтобы получить целую ноту?

Сколько вариантов получится, когда длина матра-вррта равна 5? Подсказкой будет тот порядок, в котором написаны варианты выше. Такой метр может оканчиваться лагху (это значит, что этому предшествует метр длины 4, а таких метров пять) либо гуру (это значит, что перед этим находится метр длины 3, а таких метров три). Всего 5 + 3 = 8 вариантов, сумма двух предыдущих членов. И мы вернулись к последовательности Фибоначчи, или, как любит ее называть Бхаргава, последовательности Вираханки – в честь выдающегося индийского ученого, знатока литературы, религии и математики, впервые нашедшего эти числа (за пять столетий до того, как Фибоначчи задумался над своими кроликами).