Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ИГРА КОНВЕЯ

Проще всего, если вы увлекаетесь математикой, думать о пандемии как о кривой, нарисованной на миллиметровке или на экране, с числами, отражающими абстрактные величины, изменяющиеся во времени. Однако нельзя забывать, что они отображают реальных людей, которые заболели или умерли. Поэтому нужно периодически останавливаться и думать об этих людях. Один из них – Джон Хортон Конвей – умер от COVID-19 11 апреля 2020 года. Он был геометром[381] и много чем еще занимался, однако почти вся его математика так или иначе включала рисование картинок.

Я познакомился с Конвеем во время своей постдокторантуры в Принстоне и постоянно задавал ему вопросы по математике. У него всегда находился развернутый, информативный и поучительный ответ, хотя он никогда непосредственно не отвечал на тот вопрос, что я задал. Тем не менее я многому у него научился! Конвей не усложнял жизнь намеренно, просто таков был его образ мышления – скорее ассоциативный, чем дедуктивный. Вы спрашивали его о чем-то, а он рассказывал, о чем напомнил ему ваш вопрос. Если вам требовалась конкретная информация, ссылка или утверждение теоремы, вас ожидал долгий окольный путь с неизвестным местом назначения. Офис Конвея был забит забавными головоломками, играми и игрушками, которые в известном смысле были развлечением, но одновременно и частью его математики. Казалось, он думал о математике всегда. Однажды прямо посреди улицы его посетила идея какой-то теоремы из теории групп, и в результате его сбил грузовик. Впоследствии он называл эту теорему «орудием убийства»[382].

Все математики воспринимают математику как своеобразную игру, но Конвей был уникален в своем упорстве воспринимать игру как своеобразную математику. Он был заядлым изобретателем игр[383] и любил давать им забавные названия: Col, Snort, Loony, Dud, Sesqui-up, Phutball[384]. Однако это было не развлечение ради развлечения. Из развлечений он выстраивал теорию. Мы уже встречались с его математическими играми в этой книге: именно Конвей разработал представление об играх класса «Ним» как о своего рода числах; и его коллега Дональд Кнут использовал эту идею в написанной в 1974 году книге с крайне экстремальным для того времени названием Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Total Happiness («Сюрреальные числа»[385]). Книга написана в виде диалога двух студентов, которые натолкнулись на священный текст, излагающий теорию Конвея: «Вначале везде была пустота, и Джон Хортон Конвей начал создавать числа…»[386]

Именно Конвей в конце 1960-х годов первым нарисовал на бумаге список всех узлов с одиннадцатью или меньшим числом пересечений; он разработал собственную систему записи (изобрел множество собственных обозначений) для небольших частей узла, где переплетаются нити (Конвей назвал их плетениями[387]).

Один из узлов реестра Конвея впоследствии получил его имя – это тот самый упоминавшийся уже нами узел, о котором нейронная сеть заявила, что его трудно понять, а Лиза Пиччирилло тем не менее доказала о нем теорему.

Конвей, пожалуй, наиболее известен в мире за пределами теоретической математики благодаря игре «Жизнь» – простому алгоритму, создающему невероятно сложные и постоянно меняющиеся конфигурации, которые выглядят практически как живые – отсюда и название[388]. Однако его раздражала такая слава, поскольку он считал игру «Жизнь» (справедливо) гораздо менее глубокой, чем большая часть его математических результатов. Поэтому я закончу не игрой «Жизнь», а одной из моих любимых теорем – действительно геометрической теоремой, которую Конвей доказал вместе с Кэмероном Гордоном в 1983 году[389]. Возьмите любые шесть точек в пространстве. Существует десять различных способов разбить эти точки на две группы по три. (Проверьте!) Для каждого разбиения вы можете соединить обе тройки точек, чтобы получить два треугольника. Конвей и Гордон доказали, что среди разбиений всегда будет как минимум одно, при котором эти треугольники будут сцепленными, как звенья цепи.

Для меня метод доказательства выглядит даже изящнее самого факта. В реальности Конвей и Гордон доказывают, что число разбиений, приводящих к сцепленным треугольникам, должно быть нечетным. Однако ноль – число четное! Следовательно, должно быть хотя бы одно разбиение, при котором треугольники сцеплены. Кажется довольно странным доказывать существование какого-то объекта на основании того, что таких объектов должно быть нечетное число, однако на самом деле ничего необычного тут нет. Предположим, у тумблера лампочки два положения. Если вы вошли в комнату и увидели, что лампа не в том состоянии, как вы ее оставили, то вы понимаете, что кто-то щелкнул выключателем. Однако причина, почему вы это поняли, в том, что состояние лампы говорит вам, что выключателем щелкнули нечетное число раз.