Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Глава 12. Дым в листе

В 1977 году группа участников нидерландской команды предложила на международной математической олимпиаде в Белграде своим британским коллегам такую головоломку. Какое число будет следующим в последовательности?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211…

Упростит ли это задачу, если я назову несколько следующих чисел:

13112221, 1113213211, 31131211131221, 13211311123113112211…

Большинство людей не могут ее решить. Я, естественно, тоже не смог, когда увидел впервые. Но когда вы узнаете решение, удивлению нет предела, насколько оно простое и одновременно очаровательное. Это последовательность «посмотри и скажи». Первый член – это 1. Читаем его как «одна единица» и получаем второе число 11. Читаем его как «две единицы» и получаем следующее число 21. Читаем его как «одна двойка, одна единица» и получаем 1211. Затем следует «одна единица, одна двойка, две единицы», то есть 111221, и так далее.

Это просто забавное развлечение; во всяком случае, так казалось команде из Нидерландов. Однако примерно в 1983 году последовательность «посмотри и скажи» попалась на глаза Джону Конвею, для которого превращение развлечения в математику (и обратно) было образом жизни. Конвей доказал, что[441] последовательность «посмотри и скажи» никогда не будет содержать цифр больше 3, а ее долгосрочное поведение управляется поведением 92 особых цепочек цифр, которые Конвей окрестил атомами и назвал в честь химических элементов (например, 1113213211 – это гафний, за которым следует олово). Более того, само количество цифр в членах последовательности тоже ведет себя вполне предсказуемо. Выписанные выше члены последовательности «посмотри и скажи» имеют такую длину:

1, 2, 2, 4, 6, 6, 8, 10, 14, 20…

Было бы очень красиво, если бы это была геометрическая прогрессия, но это не так. Отношение каждого последующего члена к предыдущему равно:

2, 1, 2, 1,5, 1, 1,33333…, 1,25, 1,4, 1,42857…

Но по мере дальнейшего продвижения начинает вырисовываться какая-то регулярность. Сорок седьмое, сорок восьмое и сорок девятое числа имеют соответственно 403 966, 526 646 и 686 646 цифр. Второе число в 1,3037 раз больше первого. Третье в 1,3038 больше второго. Похоже, что отношение соседних чисел стабилизируется. Изобретательно манипулируя своими 92 атомами, подвергавшимися тому, что он назвал аудиоактивным распадом, Конвей доказал, что эти отношения действительно сходятся к некоторой константе, которую математик точно вычислил[442]. Длины чисел из последовательности «посмотри и скажи» не образуют геометрическую прогрессию, но образуют прогрессию, которая со временем все больше и больше сходится к геометрической.

Геометрические прогрессии элегантны и первозданны. Но в реальном мире они редкость. Чаще встречаются приблизительно геометрические прогрессии, такие как «посмотри и скажи». Они знакомят нас с крайне важным математическим понятием под названием собственное значение. Мы не можем избежать собственных значений, если, например, хотим сделать модели распространения болезней Росса – Хадсон хотя бы немного реалистичными.