Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

ДАКОТА И ДАКОТА

Теория событий Росса и Хадсон применительно к болезням основана на выявлении доли населения, зараженного в данный момент. Это уже создает определенную двусмысленность. О каком населении идет речь? Ваш район? Ваш город? Страна? Весь мир?

Вы можете убедиться, что это действительно важно, выполнив простое упражнение на сложение. Предположим, что на Великих равнинах[443] бушует какая-то новая болезнь – Страшный и Ужасный грипп (СИУ). Допустим, что в Северной Дакоте число случаев утраивается каждую неделю, а в соседней Южной Дакоте по каким-то причинам только удваивается. Числа для Северной Дакоты могут выглядеть так:

10, 30, 90, 270,

а для Южной Дакоты – так:

30, 60, 120, 240.

Тогда общее число случаев заболевания, если бы обе Дакоты были одним штатом, составило:

40, 90, 210, 510,

что вообще не является геометрической прогрессией: отношения между ее последовательными членами равны 2,25, 2,33, 2,43. Если вы рассматриваете статистику по Дакотам как по единому целому, то можете решить, что какая-то зловещая сила делает вирус с каждой новой неделей все более заразным. И начнете волноваться. Прекратится ли когда-нибудь этот рост?

Не волнуйтесь. Число случаев растет не в геометрической прогрессии, а приблизительно так, как в последовательности «посмотри и скажи». За четыре рассмотренные недели количество инфицированных распределилось между Дакотами примерно поровну. Однако ненадолго. Следующие четыре недели принесут Северной Дакоте много заболевших:

810, 2430, 7290, 21 870,

а в Южной Дакоте будет всего лишь:

480, 960, 1920, 3840.

Общее количество случаев заболеваний в обеих Дакотах за восьмую неделю составило 25 710, то есть в 2,79 раза больше, чем за седьмую (9210). Это отношение уже довольно близко к 3 и далее будет только приближаться к этому числу. Более быстрый рост в Северной Дакоте полностью затмевает рост в Южной. Через десять недель после начала эпидемии почти 95 % всех случаев будут зафиксированы именно там. В какой-то момент вы сможете просто игнорировать Южную Дакоту: практически все заболевшие будут концентрироваться в Северной, утраиваясь каждую неделю.

Две Дакоты – напоминание, что в борьбе с пандемиями нужно думать не только о времени, но и о пространстве. В базовой SIR-модели любые два человека в популяции встречаются и смешивают выдохи с равной вероятностью. Мы знаем, что это не совсем так. Жители Южной Дакоты в основном встречаются с другими жителями Южной Дакоты, а северодакотцы – с северодакотцами. Именно поэтому скорость распространения инфекции может быть разной в разных штатах и даже в разных местностях одного штата. Равномерное перемешивание населения привело бы к выравниванию динамики болезни, подобно тому как смешивание горячей и холодной воды быстро дает теплую воду.

Вот более сложный сценарий для Дакот. Предположим, что в Южной Дакоте идеально соблюдают правила социального дистанцирования, то есть между двумя жителями штата никогда не происходит случаев передачи инфекции. Тем временем в Северной Дакоте все общаются, дышат общим воздухом и в целом игнорируют правила. Каждый инфицированный житель Северной Дакоты передает вирус одному жителю штата. Более того, северодакотцы любят пересекать границу, встречаться с людьми, и при этом каждый инфицированный северодакотец передает вирус одному южнодакотцу, а каждый инфицированный южнодакотец – одному северодакотцу.

Уловили? Если нет (или даже если да), давайте посмотрим, как это работает, если сначала у нас есть один северодакотец с СИУ, а в Южной Дакоте больных нет.

На следующей неделе он заразит одного жителя штата Сада мира[444] и одного южнодакотца, в то время как в Южной Дакоте, где зараженных не было, новых инфекций нет. Чтобы упростить ситуацию, будем считать, что больные гриппом выздоравливают после заразной недели, так что в конце недели больными будут только новые инфицированные: в нашем случае это один северо- и один южнодакотец.

На следующей неделе этот северодакотец заразит двух человек – одного в Северной Дакоте, а другого – в Южной, в то время как южнодакотец заразит только приблизившегося северодакотца, так что мы получим:

Со временем инфекция распространяется все шире. Несколько следующих недель дадут нам:

Не слышите ли вы отголоски поэзии на санскрите? Количество зараженных северодакотцев в зависимости от недели:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

это (вуаля!) числа Вираханки – Фибоначчи. То же самое и с числом больных в Южной Дакоте, просто со сдвигом на неделю. Это обеспечивают выбранные нами правила передачи вируса Страшного и Ужасного гриппа: каждую неделю количество южнодакотцев с СИУ – это число инфицированных северодакотцев на прошлой неделе, а число северодакотцев с СИУ – это сумма количеств зараженных северодакотцев и южнодакотцев на прошлой неделе, которая равна сумме числа заболевших северодакотцев на прошлой неделе и числа заболевших северодакотцев на позапрошлой неделе.

Последовательность Фибоначчи – не геометрическая прогрессия, отношение между ее членами меняется:

1, 2, 1,5, 1,666…

Хотя на самом деле это своего рода геометрическая прогрессия! Особенно если мы продолжим ее еще на несколько членов. Двенадцатое число Фибоначчи – 144, тринадцатое – 233, а четырнадцатое – их сумма, то есть 377. Отношение 233 / 144 ≈ 1,61806. Следующее отношение 377 / 233 ≈ 1,61803. Эти числа весьма близки. А если вы проследите за распространением инфекции еще несколько недель, то увидите, что отношения между соседними неделями все больше приближаются к общему числу, очень близкому к 1,618034. Мы снова сталкиваемся с явлением не точного, но почти экспоненциального роста. Что это за загадочное число, которое скрыто в последовательности чисел Фибоначчи?

Это не просто число. Это число с причудливым названием золотое сечение, оно же золотая пропорция, оно же божественная пропорция, оно же φ (греческая буква, которая читается как «фи»). Чем знаменитее число, тем больше у него имен[445]. Если вам нужна точная формула, то золотое сечение φ = (1 +√5) / 2.

Люди веками поднимали шум из-за этого числа. У Евклида пропорция носит более приземленное название «деление в среднем и крайнем отношении». Это число требовалось Евклиду для построения правильного пятиугольника, ведь золотое сечение – это отношение длины диагонали правильного пятиугольника к его стороне. Иоганн Кеплер называл теорему Пифагора и золотое сечение главными сокровищами классической геометрии: «Первое мы можем сравнить с массой золота[446], второе можем назвать драгоценным камнем».

Где-то по пути отношение перестало быть драгоценным камнем и стало золотым; в одном тексте 1717 года говорится, что «древние называли[447] это отношение золотым». (Нет никаких подтверждений, что кто-то из древних на самом деле использовал такое название, однако присваивание вашей выдумке некоторой традиции добавляет ей немного культурной привлекательности.) Золотой прямоугольник – это прямоугольник, длина которого в φ раз больше ширины; у него есть приятная особенность: если вы разрежете его поперек, чтобы одна из частей была квадратом, то другая снова окажется золотым прямоугольником (меньшего размера). При желании вы можете отрезать квадрат и от него, получив еще меньший, и так далее, строя целую спираль из квадратов.

Кеплер ценил золотое сечение как за геометрические, так и за арифметические свойства; он открыл последовательность Вираханки – Фибоначчи независимо и обнаружил, что отношения между ее последовательными членами стремятся к золотому сечению. Взаимоотношения между геометрией и арифметикой в этой последовательности становятся заметны, если нарисовать почти золотой прямоугольник, длина и ширина которого – два последовательных числа Фибоначчи, как в этом примере 8 × 13:

Он почти золотой: отрежьте квадрат, и получите прямоугольник 5 × 8; снова отрежьте квадрат, и останется 3 × 5. С каждым разрезом вы двигаетесь назад по последовательности Фибоначчи. В итоге вы доберетесь до нуля, и ваша спираль из квадратов закончится, а не будет продолжаться вечно.

Мое любимое свойство золотого сечения привлекает относительно немного внимания, так что у меня есть шанс известить вас о нем! Причина, по которой я вынужден писать φ = 1,618… с раздражающим многоточием, – то, что это число иррациональное; вы не можете выразить его в виде отношения двух целых чисел, а это означает, что вы не можете записать золотое сечение в виде конечной десятичной дроби или даже периодической десятичной дроби вроде 1/7 = 0,142857142857142857…

Но это не значит, что нет рациональных чисел, достаточно близких к нему. Конечно же, они есть! В конце концов, десятичное разложение числа – это способ записать дроби, близкие к нему:

16/10 = 1,6 (довольно близко);

161/100 = 1,61 (ближе);

1618/1000 = 1,618 (еще ближе).

Десятичное разложение дает вам дробь со знаменателем 1000, которая отличается от золотого сечения не более чем на 1/1000[448]; если взять дробь со знаменателем 10 000, то мы получим точность в пределах 1/10 000 и так далее.

Однако есть способ лучше, чем применение десятичных дробей! Вспомните, что отношения между соседними числами Фибоначчи – это тоже дроби, которые стремятся к золотому сечению:

8/5 = 1,6;

13/8 = 1,625;

21/13 ≈ 1,615.

Забравшись далеко в последовательности, вы получите число

233/144 = 1,6180555555…

которое всего лишь на 2/100 000 отличается от золотого сечения, и это существенно лучше, чем 1618/1000, хотя знаменатель 144 нашей дроби и меньше 1000. По сути, разница меньше сотой часть дроби 1/144.

Некоторые знаменитые иррациональные числа можно аппроксимировать еще точнее. Цзу Чунчжи, астроном V века[449] из Нанкина, заметил, что простая дробь 355/113 невероятно близка к π – с точностью до двух десятимиллионных. Ученый назвал это число «милю» – «очень близкое отношение». Книга Цзу с математическими методами утеряна, а потому мы не знаем, как он придумал это приближение. Однако это не самая очевидная вещь: пройдет еще тысяча лет, прежде чем такое приближение заново откроют в Индии, еще через сто оно станет известно в Европе, и еще через столетие будет окончательно доказано, что на самом деле π иррационально.

Насколько точно можно приближать иррациональные числа к рациональным? Это арифметическая задача, но лучше всего думать о ней геометрически. Для этого есть изумительный трюк, придуманный в начале XIX века немецким математиком Петером Густавом Лежён Дирихле. Мы нашли дробь 233/144, расстояние от которой до числа φ составляет меньше сотой доли от 144. Можно ли найти какую-нибудь дробь p/q, расстояние от которой до числа φ будет составлять менее тысячной доли от знаменателя q? Можно, и доказательство Дирихле для этого факта настолько простое, что я не могу вам его не показать[450]. Нарисуйте отрезок числовой прямой от 0 до 1 и разделите его на тысячу равных частей-отделений. Я не могу нарисовать тысячу равных частей, так что просто вообразите их.

Теперь начинаем выписывать кратные для числа φ:

φ = 1,618…

и отмечать на числовой прямой дробную часть каждого из этих чисел – ту часть, которая идет после десятичной запятой. Если я нарисую дробные части первых трехсот кратных для числа φ в виде вертикальных линий ради лучшей заметности, то у меня получится своеобразный штрихкод.